Изпъкнал четириъгълник

[Гост]

В изпъкналия четириъгълник АВСD точките P,Q,R и S са съответно среди на на страните АВ,ВС,СD и AD. Да се докаже, че ако PR=SQ то:
А) диагоналите АC и BD на четириъгълника ABCD са перпендикулярни
Б) лицето на четириъгълника АВСD e равно на [tex]\frac{AC.BD}{2}[/tex]
В) [tex]AB^{2}[/tex] + [tex]CD^{2}[/tex]=[tex]AD^{2}[/tex]+[tex]BC^{2}[/tex]

[math10.com]

По теорема на Вариньон [tex]PQRS[/tex] е успоредник (Тази теорема я има като основна задача в учебника по математика за 8-ми клас в раздела за средна отсечка)
Пряко следствие от същата теорема е , че ъглите на този успоредника са равни на ъглите между диагоналите на дадения четириъгълник.
Успоредник с равни диагонали е правоъгълник , с което се доказва подточка а).Подточка б) е пряко следствие от формулата за лице на четириъгълник [tex]S=d_1.d_2.sin \varphi[/tex] , където [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между диагоналите.Нека ги пресечем в точка [tex]M[/tex].Прилагайки Питагорова теорема за образуваните 4 триъгълника [tex]\Delta ABM, \Delta BCM , \Delta CDM ,\Delta ADM[/tex] ще докажем подточка в)