Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС с периметър 32. Допирателната към вписаната окръжност, успоредна на АВ, пресича бедрата в точки P и Q. Да се намери лицето на триъгълника ако PQ=4.

[math10.com]

Нека [tex]AB=2x \Rightarrow AC=BC=16-x[/tex]
Вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex] е вписана и в равнобедрения трапец [tex]ABQP ; Q \in BC ;P \in AC[/tex]
[tex]\Rightarrow PQ+AB=BQ+AP \Rightarrow AP=BQ=x+2 \Rightarrow PC=QC=14-2x[/tex]
[tex]PQ||AB \Rightarrow \Delta PQC\approx \Delta ABC[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{PQ}{AB}=\frac{PC}{AC} ; \Rightarrow \frac{4}{2x}=\frac{14-2x}{16-x}[/tex]
[tex]\Rightarrow 16-x=x(7-x) \Rightarrow x^2-8x+16=0 \Rightarrow x=4[/tex]
[tex]\Rightarrow AB=8 ;AC=BC=12 ; p=16 ; p-AB=8 ; p-AC=p-BC=4[/tex]
[tex]S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{16.8.4.4}=32\sqrt{2}[/tex] - Херонова формула