Тригонометричен уравнение

[Гост]

Да се докаже че, уравнението a(sinx+cosx)+2sin2x=1 има решение за всяко a

[monika_at]

Полагаме [tex]sinx+cosx=t=>(sinx+cosx)=t^2=> sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=t^2=>sin2x=t^2-1[/tex]

[tex]sinx+cosx=\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}+x); -1\le sin(\frac{\pi}{4}+x)\le1=> -\sqrt{2}\le t \le\sqrt{2}[/tex]

Получаваме квадратното уравнение [tex]f(t)=t^2+t-2=0[/tex]

[tex]f(-\sqrt{2}).f(\sqrt{2})=(2-a\sqrt{2}-2)(2+a\sqrt{2}-2)=-2a^2<0[/tex]=>[tex] в разглеждания интервал съществува корен.

[monika_at]

Полагаме [tex]sinx+cosx=t=>(sinx+cosx)=t^2=> sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=t^2=>sin2x=t^2-1[/tex]

[tex]sinx+cosx=\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}+x); -1\le sin(\frac{\pi}{4}+x)\le1=> -\sqrt{2}\le t \le\sqrt{2}[/tex]

Получаваме квадратното уравнение [tex]f(t)=t^2+at-2=0[/tex]

[tex]f(-\sqrt{2}).f(\sqrt{2})=(2-a\sqrt{2}-2)(2+a\sqrt{2}-2)=-2a^2\le0[/tex]=> в разглеждания интервал съществува корен.

Бях пропуснала а в уравнението и нестрогото неравенство (последното).

[ptj]

В края трябва да се добави, че [tex]sinx+cosx[/tex] е непрекъсната функция, т.е. приема всички стойности в интервала [tex][-\sqrt{2};\sqrt{2}][/tex].
Това гарантира, че за съответния корен [tex]t_0[/tex] съществува [tex]x_0[/tex],
за което [tex]sin(x_0)+cos(x_0)=t_0[/tex].