Четириъгълник

[Гост]

Около окръжност е описан правоъгълен трапец. Допирната точка на окръжността с бедрото го дели на отсечки с дължина 16 и 9. Да се намери лицето на четириъгълника , чиито върхове са допирните точки на окръжността със страните на трапеца.

[Zarrie]

Нека окръжността [tex]k(O;r) \cap ABCD = M,N,P,Q : M z AB,N z BC,P z DC,Q z AD \Rightarrow PC=CN = 9, MB = BN =16[/tex]
Построяваме [tex]PM : O z PM, PM \bot DC \Rightarrow PM \bot AB[/tex]
[tex]PM \bot AB \Rightarrow AD \parallel PM, AD = PM[/tex]
От [tex]MP \bot AB \Rightarrow MBCP[/tex] е правоъгълен трапец.
Постр. [tex]CH \parallel PM \Rightarrow CH \bot AB[/tex]
[tex]\triangle BHC \Rightarrow Bc = 25, HB = MB-PC =7 ,BC^2 =HB^2+CH^2 \Rightarrow CH=PM=AD = 24[/tex]
[tex]Q: z AD, AQ = DQ=12 \Rightarrow AM = 12, DP = 12 \Rightarrow AB = 28, DC = 21[/tex]
[tex]S_{MNPQ} = S_{ABCD} - (S_{AMQ} + S_{MBN} +S_{CNP} +S_{DQP})[/tex]
[tex]S_{AMQ} = S_{DQP} = 72[/tex]
[tex]\triangle CHB \Rightarrow sin \angle HBC = \frac{24}{25} \Rightarrow S_{MBN} = 122.88[/tex]
[tex]\angle NCP = 180-\angle MBN \Rightarrow sin\angle NCP = sin\angle MBN = \frac{24}{25} \Rightarrow S_{NCP} = 38.88[/tex]
[tex]S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2}.AD =588[/tex]
[tex]S_{MNPQ} = 588-305.76 =282.24[/tex]