Пирамида

[Гост]

Основата на пирамида е триъгълник със страни 6, 5 и 5 . Околните стени сключват с основата рани двустенни ъгли по 45[tex]^\circ[/tex]. На колко е равен обема на пирамидата.

[math10.com]

След като околните стени сключват равни двустенни ъгли следва ,че върхът на пирамидата се проектира в центъра на вписаната в основата окръжност(Доказва се с еднакви триъгълници).Тъй като тези двустенни ъгли са по [tex]45^\circ[/tex] следва , че височината на пирамидата е равна на радиуса на на вписаната в основата окръжност.Сега с Херонова формула намираме лицето на основата [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8.2.3.3}=12[/tex].
Използваме и формулата за лице с радиус на вписаната окръжност:[tex]S=p.r \Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}[/tex].
И вече имаме всичко необходимо за намирането на обема:[tex]V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}.12.\frac{3}{2}=6[/tex]

[Zarrie]

Нека пирамидата е ABCM, където ABC е основата и BC=AC.
От това, че околните стени сключват равни двустенни ъгли с основата следва, че върхът М се проектира в центъра на вписаната в основата окръжност - точката О. Но триъгълникът е равнобедрен, следователно точката О лежи на симетралата на страната AB.
[tex]CC_{1} \bot AB, O z CC_{1}, \angle OC_{1}M = 45, OM \bot (ABC) \Rightarrow \triangle C_{1}OM : \angle O = 90, C_{1}O=OM =r[/tex]
[tex]\triangle ABC_{1} \Rightarrow cos \angle CBC_{1} = \frac{3}{5} \Rightarrow sin \angle CBC_{1} = \frac{4}{5}[/tex]
[tex]S_{ABC} = \frac{BC.AB.sin\angle CBA}{2} = 12 = pr \Rightarrow r = \frac{3}{2} \Rightarrow MO =\frac{3}{2}[/tex]
Открихме лицето на основата и височината на пирамидата, което ни стига за да намерим обема ѝ.
[tex]V=\frac{1}{3}B.h \Rightarrow V = 6[/tex]

[Zarrie]

.

[Гост]

А как точно се доказва че се проектира в центъра на вписаната окръжност ?
Благодаря.

[math10.com]

По 2-ри признак за еднаквост [tex]\angle 90^\circ ; \angle 45^\circ ; MO[/tex]- обща , следва О се намира на равни разстояния от основните ръбове...