Параметър

[Гост]

Дадено е уравнението 2[tex]x^{2}[/tex]-2(2k+1)x+[tex]k^{2}[/tex] -k с корени [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex]. Да се намерят всички реални стойности на к за които [tex]x_{1 }[/tex]<k и [tex]x_{2 }[/tex] > k+1

[Zarrie]

От графична гледна точка поставеното условие изисква числата [tex]k, k+1[/tex] да се намират "между" корените" на уравнението. Тъй като старшият коефициент е 2>0, следва, че върхът на параболата "обърнат надолу", следователно тази парабола "обгражда" числата k,k+1. Тъй тези числа са реални, те се намират по оста Ox и за да ги "обгради" параболата трябва тя да пресече тази ос. Тъй като те са между корените и параболата пресича оста, то построявайки си графиката ще забележиш, че за числата k,k+1,функцията ще приеме отрицателни стойности и това е достатъчно условие да е изпълнено изискването на задачата, с други думи:
[tex]\begin{array}{|l} f(k)<0\\ f(k+1)<0 \end{array}[/tex]
Нямаме изискване за дискриминантата, тъй като това изискване задължава функцията да пресече оста Ох, което е равносилно на това дискриминантата да е положителна. Решаваме двете получени неравенства.
[tex]f(k)=2k^2-2(2k+1)k+k^2-k<0 \Rightarrow k^2+3k>0,k \in (-\infty;0)\cup(3;\infty)[/tex]
[tex]f(k+1)=2(k+1)^2-2(2k+1)(k+1)+k^2-k<0[/tex]
[tex]2(k^2+2k+1)-2(2k^2+3k+1)+k^2-k<0[/tex]
[tex]k^2+3k>0 \Rightarrow k \in (-\infty;0)\cup(3;\infty)[/tex]
Решението на задачата е сечението на двата интервала и тъй като те съвпадат, решението е :[tex]k \in (-\infty;0)\cup(3;\infty)[/tex]

[Гост]

Наистина съвпадат интервалите, но при мен са от k∈(−∞;-3)∪(0;∞)

[Zarrie]

Така е, объркал съм знаците Извинявам се.