Правилна пирамида

[Гост]

В правилна четириъгълна пирамида е вписан куб, така че четирите му върха са върху апотемите на пирамидата, а другите четири - в равнината на основата. Всички ръбове на пирамидата имат дължина а . Намерете лицето на повърхнината на пирамидата и обема на куба.

[ptj]

Ортогоналните проекции на апотемите в основата се проектират в половинки от средните отсечки в квадрата.
Тогава 4-те върха на куба в основата лежат върху тях.

За да намериш техните дължини (ръбовете на куба) трябва да намериш дължината на страната на квадрат вписан в равнобедрен триъгълник със страни: [tex]а,\frac{a\sqrt{3}}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] .

Ако ъгъла при основата му е [tex]\varphi[/tex], то [tex]tg\varphi=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{2}[/tex].

Нека страната на квадрата (ръба на куба) е [tex]x[/tex].

[tex]tg\varphi=\frac{x}{\frac{a}{2}-\frac{x}{2}}[/tex]

[tex]2\sqrt{2}=\frac{x}{a-x}[/tex]

[tex]x=\frac{2a \sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}[/tex]
...

[Гост]

А защо ръба на куба не е [tex]\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex] щом се проектират в средите на средните отсечки при осовата?

[ptj]

Не се проектират в средите, а върху средните отсечки, направи си чертеж...

[Гост]

Много се извинявам но не мога да се оправя дори с чертежа.