Да се намери функцията f(x)

[Гост]

(x-1)f(x)+f(1/x)=(1/1-x) f(x) = ?
Ако е възможно универсален начин на решаване на такива задачи ще съм блгодарен. Попринцип полагам с буква, но тук не ми се получава.

[Гост]

Направете полагане

f(x)=u
f(1/x)=1/u

След това решавате уравнението спрямо u,което ще бъде израз на х.

Послепис Неграмотната Менка

[Добромир Глухаров]

Имаме [tex](x-1)f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{1-x}\ (1)[/tex]

Сега навсякъде вместо [tex]x[/tex] пишем [tex]\frac{1}{x}[/tex]:

[tex](\frac{1}{x}-1)f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\ (2)[/tex]

pешаваме [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] като система относно неизвестните [tex]f(x)[/tex] и [tex]f(\frac{1}{x})[/tex]

Аз получавам [tex]f(x)=\frac{1}{x-1}[/tex], но може и да съм сбъркал в сметките.

[Гост]

Много съм тъп ! Не мога да си обясня как не се сетих ....Мерси много за решението. Това е отговора.

[Zarrie]

Може би глупав въпрос, но откъде се досещате, че трябва да се състави второ уравнение с реципрочното на х?

[widescreendfg]

Когато имаме [tex]f(x)[/tex] Заместваме навсякъде, където имаме [tex]x[/tex] със другата стойност на функцията ( в случая [tex]f(\frac{1}{x}[/tex] ) . Ако беше [tex]f(x+1)[/tex] другата, щяхме просто да заместим с [tex]x+1[/tex] .

[Zarrie]

Тоест работим с двете дадени ни стойности на функцията? Сега намирам логиката. Дадено е [tex]f(x),f(\frac{1}{x})[/tex]и затова използваме тези стойности?

[widescreendfg]

Точно така.
Уточнявам пак, че няма значение, че са реципрочни.Може да е примерно [tex]f(x+5)[/tex] . Има три типа задачи от този вид.Точно при този тип трябва да имаме задължително две функции и едната от тях да е [tex]f(x)[/tex]
Забелязваш ли, че когато замести [tex]x[/tex] със [tex]\frac{1}{x}[/tex] стойностите просто се разменят.
Където е било [tex]f(x)[/tex] става [tex]f(\frac{1}{x})[/tex] и обратно.
После ги поставяме във система.Гледаме да оставим само [tex]f(x)[/tex] и получаваме отговора

[Zarrie]

Много благодаря

[inveidar]

Ако беше [tex]f(x+1)[/tex] другата, щяхме просто да заместим с [tex]x+1[/tex] .

И нямаше да получим нищо съществено! Просто в случая замествайки хикс с едно върху хикс се разменят местата на стойностите на функцията и можем да съставим система.

[widescreendfg]

Не мисля, че разбираш обяснението ми. Като заместя със [tex](x+1)[/tex] ще стане:
[tex]f(x+1)[/tex] и [tex]f(\frac{1}{x+1})[/tex]
А от този вид се решават:
[tex]x+1 \rightarrow \frac{1}{x+1}[/tex]
[tex]x\rightarrow -\frac{x}{x+1}[/tex]
Нататък е ясно.
За това, че "просто си разменяли местата", пробвай при [tex]\frac{x}{2x-1}[/tex]

[drago]

Защо си мислиш, че не разбира обясненията ти? Този тип функционални у-ния си имат тертип, както и горе долу всички от тях, но нещата не са чак толкова универсални, сякаш даваш рецепта за всичко. Ако имаш връзка м/у функционални стойности напр. в точките x и x+1 , т.е. връзка м/у f(x) и f(x+1), този метод няма да работи. Това работи, ако имаш някакво зацикляне м/у съответните точки, в които са взети функ. стойности, както в случая [tex]x\to 1/x[/tex] е итерация, която зацикля на втория ход. Други такива са някои дробно линейни функции, може би това, за което споменаваш (скоро ми попадна едно такова функ. у-ние, в което се зацикляше на третия ход), но това не е универсална резепта.
И въобще кой дава такива неща за домашна за 12-ти клас, не съм виждал и на канд. студ. изпити. Това се дава по олимпиади, или образованието е по напреднало, отко;лкото беше

П.П. Не съм фен на функционалните у-ния, имам си съображения, но това е дълга история. Така че, не претендирам да съм някакъв капацитет. Просто мнение.

[widescreendfg]

За мен е едно и също. Все едно си говорим за лимеси. [tex]x=\frac{1}{t} ;t\rightarrow0[/tex] и после се получава винаги [tex]\frac{0}{0}[/tex] .После си правя първа производна. Ако се получи отново [tex]\frac{0}{0}[/tex], втора производна и т.н . Всички задачи си имат универсален начин. "Цаката" е да решиш 50 задачи от вид и няма да ти правят впечатление по трудните задачи. Точно за лимесите ако видиш решенията на авторите на сборниците, свят да ти се завие. Едва ли не, всяка задача се решава по различен начин .

[inveidar]

Не мисля, че разбираш обяснението ми. Като заместя със [tex](x+1)[/tex] ще стане:
[tex]f(x+1)[/tex] и [tex]f(\frac{1}{x+1})[/tex]
А от този вид се решават:
[tex]x+1 \rightarrow \frac{1}{x+1}[/tex]
[tex]x\rightarrow -\frac{x}{x+1}[/tex]
Нататък е ясно.
За това, че "просто си разменяли местата", пробвай при [tex]\frac{x}{2x-1}[/tex]

Наистина не го разбирам, защото си го казал неразбрано. Аз те разбрах така
[tex](x-1)f(x+1)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{1-x}\ (1)[/tex] . Вместо [tex]f(x)[/tex] имаш [tex]f(x+1)[/tex]. Хайде сега го реши.

[kmitov]

Според мен колегата widescreendfg казва, че ако има например [tex](x-1)f(x)+f(x+1)=\frac{1}{1-x}[/tex] ще замести навсякъде [tex]x[/tex] с [tex](x+1),[/tex] за да получи система?

Или и аз не съм разбрал?

Поради това, че такова заместване никога няма да зацикли системата ще е безкрайна май?

[widescreendfg]

Явно аз не съм се изказал правилно.Ако нямаш [tex]f(x[/tex]), а имаш например [tex]f(x+2)[/tex] и [tex]f(-x-1)[/tex]
[tex]x+2\rightarrow-x-1[/tex]
[tex]x\rightarrow-x-3[/tex]
заместваш, правиш система и се получава .
получава се само при някои.
аз поне само за тези знам.
в университета сигурно ще ни научат и на другите.

[drago]

...
в университета сигурно ще ни научат и на другите.

Аха..., на такива работи изобщо няма да ви учат. Пък и за тях единна рецепта, както ти казах, няма.

[widescreendfg]

drago, защо толкова агресивно. Извиних се, че не съм се изказал правилно. Ако ти можеш да решиш [tex](x−1)f(x+1)+f(x)=11−x[/tex], обясни ни как става. Сигурно има някакъв начин. Няма нерешима задача.

[drago]

Няма нищо агресивно, просто ти казвам, че това няма да го учиш във ФМИ, да не говорим някъде другаде. Там няма такава дисциплина - функционални у-ния...

[tex](x−1)f(x+1)+f(1x)=11−x[/tex]...

това го оправи и ще ти кажа.

[drago]

[tex](x−1)f(x+1)+f(x)=11−x[/tex]
Защо ми се струва, че това си го видял от някъде. Някак е много подбрано, не е като предложеното от invedar, което си е бая мазало. Кккто и да е.
Имаме
[tex]f(x+1) = \frac{-f(x) +11 -x}{x-1} \,,\, x\neq 1 \,\,\,\,\,\, (*)[/tex]
От друга страна , като заместим [tex]x=1[/tex] става [tex]f(1)=10[/tex] (много кръгло e някак, само от някоя книжка си го извадил )
Като имаме предвид (*), нека [tex]f_0[/tex] е произволна функция [tex](0,1] \to \mathbb{R}[/tex], удовлетворяваща [tex]f_0 (1)=10[/tex].
Последователно дефинираме:
[tex]f_1: (1,2]\to \mathbb{R}\,,\, f_1(x) :=\frac{-f_0(x-1) +11 -(x-1)}{x-2}, x\in (1,2)\,,\, f_1(2)[/tex] е каквото си искаме
[tex]f_n(x): (n,n+1]\to \mathbb{R}\,,\, f_n(x) :=\frac{-f_{n-1}(x-1) +11 -(x-1)}{x-2}, x\in (n,n+1]\,,\, n=2,3,\dots[/tex]
И наляво:
[tex]f_{-n}(x) := 11-x -(x-1)f_{-n+1}(x+1)\,,\, x\in (-n, -n+1]\,,\, n=1,2,\dots[/tex]
И накрая дефинираме търсената ф-я [tex]f[/tex] :
[tex]f(x) := f_n(x)\,,\, x\in (n, n+1] \,,\, n \in \mathbb{Z}[/tex]
Това са всевъзможните решения на твоето функц. у-ние. ОК?