Трапец

[Гост]

В правоъгълния трапец [tex]ABCD[/tex] [tex](AB||CD[/tex] и [tex]AD \bot AB)[/tex] е вписана окръжност с център [tex]O[/tex], а разстоянието от точката [tex]O[/tex] до краищата на отсечката [tex]BC[/tex] са [tex]8[/tex]cm и [tex]4[/tex]cm. Да се намери радиусът на вписаната окръжност.

[Zarrie]

В трапеца е вписана окръжност с център О
[tex]O=CO\cap BO[/tex]Където BO, CO са ъглополовящи. Тъй като [tex]\angle ABC + \angle BCD = 180[/tex] следва, че [tex]BO\bot CO[/tex]защото са ъглополовящи на ъгли допълващи се до 180 градуса.
[tex]\Rightarrow \triangle BOC : \angle BOC = 90 \Rightarrow BC^2=BO^2+OC^2 \Rightarrow BC = 4\sqrt{5}[/tex]
[tex]k(O;r)\cap BC=N \Rightarrow ON \bot BC \Rightarrow ON = r[/tex]
[tex]ON=r_{BOC} \equiv h[/tex]
NO е радиус на вписаната окръжност, но и височина в получения правоъгълен триъгълник
[tex]S_{BOC}=\frac{1}{2}BO.CO=\frac{1}{2}CB.ON \Rightarrow ON=h=r=\frac{8\sqrt{5}}{5}[/tex]