Тригонометрично уравнение

[Гост]

Да се намерят решенията в радиани на уравнението [tex]sin4x=sin2x[/tex], които принадлежат на затворения интервал [tex][\pi;2 \pi][/tex].

[ptj]

Както сте я подкарали, след някоя година 12-класниците може да почнат да питат за таблицата за умножение.

[Zarrie]

[tex]sin2x=sin4x[/tex]
[tex]sin2x=2sin2x.cos2x : sin2x \neq 0 \Rightarrow D(x): x\neq \frac{\pi}{2}, x\neq \pi[/tex]
[tex]2cos2x=1[/tex]
[tex]cos2x=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]2x=\frac{-\pi}{3} + 2k\pi ,k = 0,\pm 2, \pm 4[/tex]
[tex]x=\frac{-\pi}{6} + k\pi, k = 0,\pm 2, \pm 4[/tex]

[Гост]

ptj, не се присмивай на хората, никой не е перфектен, явно питащият има защо да пита, дори ти не си намерил всички решения. viewtopic.php?f=40&t=16684

[Гост]

[tex]sin2x=sin4x[/tex]
[tex]sin2x=2sin2x.cos2x : sin2x \neq 0 \Rightarrow D(x): x\neq \frac{\pi}{2}, x\neq \pi[/tex]
[tex]2cos2x=1[/tex]
[tex]cos2x=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]2x=\frac{-\pi}{3} + 2k\pi ,k = 0,\pm 1,\pm 2[/tex]
[tex]x=\frac{-\pi}{6} + k\pi, k = 0,\pm 1,\pm 2[/tex]

Погледни дали тези решения принадлежат на интервала :)

[Zarrie]

Да, разбрах грешката Благодаря. Сега ще я преправя.

[Гост]

Значи можеш да го запишеш като [tex]\frac{11\pi}{6}[/tex], оп видях че си изтрил мнението си. Помисли и за други решения.

[Zarrie]

Да, просто не осъзнах какво имате предвид и разбрах, че съм написал глупост за к трябва да дадем само четни стойности, нали ?

[Гост]

Да, просто не осъзнах какво имате предвид и разбрах, че съм написал глупост :) за к трябва да дадем само четни стойности, нали ? :)

Не, помисли за тези стойности на k, които си написал, дали принадлежат на дадения интервал. Подсказвам има точно 5 решения.

[Zarrie]

съставям си системата
[tex]\begin{array}{|l} \pi \le \frac{-\pi}{6} +k\pi \\ 2\pi\ge \frac{-\pi}{6}+k\pi \end{array}[/tex]
Откъдето получавам за к [tex]|k| \ge \frac{7}{6}, |k| \le \frac{13}{6}, k \in N \Rightarrow k = \pm 2[/tex]
Добавяйки [tex]k=0, k= \pm 1[/tex] Получавам 5 решения, както казахте, но не разбирам, защо вторите 3 ( к=0 и к=+-1 ) не се получиха от системата, или отново бъркам някъде? Извинявам се за спама.

[ptj]

[tex]sin(4x)=sin(2x)[/tex]

[tex]2sin(2x).cos(2x)=sin(2x)[/tex]

[tex]sin(2x).(2cos(2x)-1)=0[/tex]

[tex]sin(2x).(cos(2x)-\frac{1}{2})=0[/tex]



Трябва да решиш (начертай си единична окръжност):

[tex]sin(2x)=0[/tex] или [tex]cos(2x)=\frac{1}{2}[/tex] за [tex](2x)\in[2\pi;4\pi][/tex]

Обединението на горните решения е крайния отговор на задачата.

[Zarrie]

Разбрах къде греша. Сега ще си разпиша задачата по-подробно. Много благодаря!

[Гост]

Както сте я подкарали, след някоя година 12-класниците може да почнат да питат за таблицата за умножение. :lol:

Много е прав ptj. Аз разбирам въпросният питащ да даде някаква версия или да покаже учудване - примерно, че щом [tex]sin2x=sin4x[/tex], то не значи ли [tex]2x=4x[/tex] и оттук [tex]x=0[/tex].

Ама не! Той е толкова тъп, че иска готово решение. Надали може сам да реши уравнението [tex]2x=4x[/tex] !
А за периодичност на синуса май не е и чувал :(

[kmitov]

За решаването на уравнението може да се постъпи по-лесно така. Щом [tex]\sin 4x=\sin 2x[/tex], то

[tex]4x=2x+2k\pi[/tex] и [tex]4x=\pi-2x+2k\pi[/tex]

Първото дава [tex]x=k\pi[/tex].

Второто дава [tex]x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}[/tex]

По нататък се вижда че от първата редица в интервала [tex][\pi,2\pi][/tex] попадат [tex]\pi[/tex] и [tex]2\pi[/tex],

от втората, като се реши двойното неравенство [tex]\pi \le \frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3} \le 2\pi[/tex]

се получава [tex]k=3,4,5[/tex] и от втората редица попадат [tex]\frac{7\pi}{6}, \ \frac{9\pi}{6}, \ \frac{11\pi}{6}[/tex]