Броят на различните корени на уравнението е?

[Гост]

Броят на различните корени на уравнението [tex]\sqrt{x-1}=8+2x-x^2[/tex] е равен на?

Тук как се определя колко корена ще има уравнението без да се пресмятат?

[ptj]

[tex]f(x)=-x^2+2x+8[/tex] e парабола с връх насочен нагоре,
т.е. тя е строго растяща в [tex](-\infty;\frac{1}{2})[/tex] и строго намяляваща в [tex](\frac{1}{2};+\infty)[/tex];
[tex]x=\frac{1}{2}[/tex] e върха на параболата (абсолютен екстремум).

[tex]g(x)=\sqrt{x-1}[/tex] e строго растяща, но има дефиниционно множество [tex](1;+\infty)[/tex].

Тъй като дефиниционното множество на [tex]g(x)=f(x)[/tex] е съответно [tex](1;+\infty)[/tex]
(сечението на Д.М. за двете функции), то за него [tex]f(x)[/tex] e строго намаляща, докато [tex]g(x)[/tex] строго растяща.

Освен това: [tex]lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty >lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty[/tex]

и [tex]g(1)=0[/tex] < [tex]f(1)=-1+2+8=9[/tex].

Като съобразим и че двете функции са непрекъснати (минават през всички точки), то графиките им ще имат точно една обща точка, т.е. [tex]g(x)=f(x)[/tex] щe има точно едно решение.