Система

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]а[/tex], за които системата [tex]\begin{array}{|l} 2x + ay = 8 \\ ax + 8y = a^2 \end{array}[/tex]

има повече от едно решение.

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]а[/tex], за които системата [tex]\begin{array}{|l} 2x + ay = 8 \\ ax + 8y = a^2 \end{array}[/tex]

има повече от едно решение.

Предполагам трябва да направим така, че системата да има безброй много решения, но не знам как точно.

[math10.com]

Нека [tex]a=0 ; \Rightarrow x=4 ; y=0[/tex] и имаме динствено решение [tex]\Rightarrow a\ne 0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x +a y =8 \\ ax +8y =a^2 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} 2ax +a^2 y =8a \\ 2ax +16y =2a^2 \end{array}[/tex]
Това се получава след умножаването на първто уравнение с [tex]a\ne 0[/tex] и второто с 2.Сега изваждаме от 1-вото второто и получаваме:
[tex](a^2-16)y=2a(4-a) \Rightarrow (a-4)(a+4)y=2a(4-a)[/tex]

Нека [tex]a=4 \Rightarrow 0.y=0 \Rightarrow \forall y[/tex] е решение
Нека [tex]a=-4 \Rightarrow 0.y=-64 \Rightarrow[/tex] няма решение
Нека [tex]a\ne \pm 4 \Rightarrow y=-\frac{2a}{a+4} \Rightarrow x=\frac{8+\frac{2a^2}{a+4}}{2}=\frac{4+a^2}{a+4}[/tex]

[ptj]

По- принцип има критерии кога система има точно 0, краен или безкраен брой решения, но се съмнявам даже и в по-олекотен вариант да присъстват в учебниците за 12-клас. Затова math10.com ви е дал разбираемо за ученици решение.
Ако трябваше да пише решение за студенти, то щеше да е на един ред.

П.П. Само стрелката между двете системи , трябва да е за равносилно [tex](\Leftrightarrow)[/tex].

[Гост]

Благодаря, определено сега разбрах как се решава. Задачата е от примерна тема за ТУ и в примерните решенията е дадено, че отговорът следва като се реши това, но не можах да разбера каква е логиката им [tex]\frac{2}{a}=\frac{a}{8}=\frac{8}{a^2}[/tex]. А студентското решение как би изглеждало, че ми стана интересно?

[inveidar]

По- принцип има критерии кога система има точно 0, краен или безкраен брой решения, но се съмнявам даже и в по-олекотен вариант да присъстват в учебниците за 12-клас.

По принцип тези критерии се учат в 8-ми клас и в някои учебници дори ги има! Специално за системи от две уравнения с две неизвестни от първа степен. Тъй като графиките на тези уравнения са прави линии(и това го има в учебника за 8-ми клас), то те се пресичат в една точка(едно решение) или са успоредни(нула решения), или съвпадат(безброй решения). В нашия случай трябва да съвпадат, което пък означава, че ако не са нули, коефициентите трябва да са пропорционални. Последното го има в някои учебници. В другите е както го е решил мат10.

[inveidar]

Благодаря, определено сега разбрах как се решава. Задачата е от примерна тема за ТУ и в примерните решенията е дадено, че отговорът следва като се реши това, но не можах да разбера каква е логиката им [tex]\frac{2}{a}=\frac{a}{8}=\frac{8}{a^2}[/tex]. А студентското решение как би изглеждало, че ми стана интересно?

Логиката е, че когато коефициентите са пропорционални, то като разделим двете страни на едното уравнение с коефициента на пропорционалност, се получава другото уравнение. Така системата се свежда до система с две еднакви уравнения и решенията са безброй много, защото графиките съвпадат.

[ptj]

Благодаря, определено сега разбрах как се решава. Задачата е от примерна тема за ТУ и в примерните решенията е дадено, че отговорът следва като се реши това, но не можах да разбера каква е логиката им [tex]\frac{2}{a}=\frac{a}{8}=\frac{8}{a^2}[/tex]. А студентското решение как би изглеждало, че ми стана интересно?

Студентското е с детерминанти или линейна зависимост на вектори и се свежда до това, което си написал.