Параметър

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър a , за всяка от които
уравнението има единствено решение.
[tex]\frac{ax}{x-1}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x^{2}-1}[/tex]

[pal702004]

Така е тъпа. Нека е:

[tex]\frac{ax}{x-1}+\frac{x}{x+1}=\frac{3}{x^2-1}[/tex]

[pal702004]

Всъчност и горната не е много тъпа. ДО: [tex]x\ne \pm 1[/tex] Под общ знаменател,

[tex](a+1)x^2+(a-1)x-1=0[/tex]

1) [tex]a=-1[/tex] - линейно уравнение с един корен [tex]x=-\frac 1 2[/tex].
2) Два различни корена, един от които е [tex]\pm 1[/tex], а другият - различен от [tex]\pm 1[/tex]

[tex]x_1x_2=-\frac{1}{a+1},\;x_1+x_2=\frac{1-a}{1+a}[/tex]

a)[tex]x_1=1,\;a=\frac 1 2,\;x_2=-\frac 2 3[/tex]

b) [tex]x_1=-1[/tex] - няма решения

3) Дискриминантата е равна на 0.

[tex](a-1)^2+4(a+1)=0[/tex]

Няма реални корени.

Значи при [tex]a=-1,\;a=\frac 1 2[/tex]

[Гост]

Някой може ли да я обясни по - детайлно, като за по "тъп" човек ?

[ammornil]

Някой може ли да я обясни по - детайлно, като за по "тъп" човек ?

1) Намирате дефиниционното множество.
2) Преобразувайте дадения израз до уравнение.
3) Получавате квадратно уравнение, което има параметър пред втората степен. Разглеждате кога коефициентът пред втората степен е нула, защото тогава ще се получи линейно уравнение, което ще има единствен корен (ако съществува такъв корен). После разглеждате кога квадратното уравнение има единствен корен, това е когато дискриминантата е равна на нула.
$\\[12pt] \dfrac{ax}{x-1}+\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{x^{2}-1} \\[6pt] \quad \text{ДМ:} \quad \begin{array}{|l} x-1\ne{}0 \\ x+1\ne{}0 \\ x^{2}-1\ne{}0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x\ne{}1 \\ x\ne{}-1 \\ (x-1)(x+1)\ne{}0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x\ne{}1 \\ x\ne{}-1 \\ x\ne{}1 \hspace{0.4em} \cup \hspace{0.4em} x\ne{}-1 \end{array} \Rightarrow x\ne{}\pm{}1 \\[6pt] \underbrace{\dfrac{\overset{x+1}{ax}}{x-1}+\dfrac{\overset{x-1}{x}}{x+1}=\dfrac{\overset{1}{1}}{x^{2}-1}}_{(x-1)(x+1)} \\[6pt]ax(x+1)+x(x-1)=1 \\[6pt] ax^{2}+ax+x^{2}-x-1=0 \\[6pt] (a+1)x^{2}+(a-1)x-1=0 \\[12pt]\text{1 сл.} \rightarrow a+1 = 0 \Rightarrow \boxed{\quad a=-1\quad } \\[6pt] \quad (a+1)x^{2}+(a-1)x-1=0 \rightarrow -2x-1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2} \in{} \text{ДМ} \\[12pt]\text{2 сл.} \rightarrow a+1\ne{} 0, x_{1}=x_{2} \Rightarrow D=0 \\[6pt] \quad D=(a-1)^{2}-4\cdot{}(a+1)\cdot{}(-1) \\[6pt] \quad D=a^{2}-2a+1+4a+4 \\[6pt]\quad D=a^{2}+2a+5 \Rightarrow a^{2}+2a+5=0 \\[6pt] \quad a_{1,2}=\dfrac{-2\pm{}\sqrt{2^{2}-4\cdot{}1\cdot{}5}}{2\cdot{}1} \\[6pt] \quad 2^{2}-4\cdot{}1\cdot{}5<0 \Rightarrow \nexists{ \sqrt{2^{2}-4\cdot{}1\cdot{}5} } \in{}\mathbb{R} \Rightarrow \nexists{a} \in{}\mathbb{R}\\[6pt]$ С това задачата е решена. Има само един случай за $a$ в който уравнението има единствено решение и това е $$\text{Отг. }\hspace{0.5em} a=-1 $$

[Гост]

Здравейте, благодаря за отговора ! Това е задача, която е дадена на 8ми юли 2013г. на изпит на ТУ-София и в отговорите се посочва "а = -1, а = 1/2". От къде се появява и а = 1/2 ?

[pal702004]

Здравейте, благодаря за отговора ! Това е задача, която е дадена на 8ми юли 2013г. на изпит на ТУ-София и в отговорите се посочва "а = -1, а = 1/2". От къде се появява и а = 1/2 ?

Горе е написано откъде. Когато квадратното уравнение има два различни корена, единият от които не е от ДМ.