Четири решения

[Гост]

Да се намерят стойностите на параметъра [tex]a[/tex], за които уравнението [tex]|2+2x-x^2|=a[/tex] има точно четири решения.

[Knowledge Greedy]

[tex]a\in (0;\,\ 3)[/tex]

[ptj]

[tex]f(x)=-x^2+2x+2=-(x-1)^2+3[/tex] е графика на парабола с връх [tex]f(1)=3[/tex] насочен нагоре.

Графиката на [tex]|f(x)|[/tex] ще се получи като в графиката на f(x) съответните клонове с отрицателни ординати се заменят със симетрични спрямо абцисната ос.

Графиката на числото [tex]а[/tex] е хоризонтална линия с една и съща ордината равна на [tex]а[/tex].

Двете графики или [tex]|f(x)|=a[/tex] имат точно 4 пресечени точки, тогава и само тогава когато съответната ордината е от интервала[tex](0;3)[/tex],
т.е. [tex]а\in(0;3)[/tex].

[Гост]

Не разбрах как получихте от 0 до 3, може ли без да се чертае графиката?

[ptj]

Zad.bmp (1.2 MiB) Прегледано 216 пъти

Виж графиката. Само когато [tex]а[/tex] е между 0 и 3 хоризонтална линия може 4 пъти да пресече графиката на [tex]|-x^2+2x+2|[/tex].

[Knowledge Greedy]

Явно е, че [tex]a>0[/tex].
Нека сега разгледаме два случая.
1 сл. [tex]2+2x-x^2\ge 0[/tex]
Уравнението има вида
[tex]2+2x-x^2 =a[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]x^2-2x-2+a=0[/tex]
За да има два корена, трябва [tex]D>0[/tex] и тези корени да удовлетворяват условието [tex]2+2x-x^2\ge 0[/tex] [tex](\ast)[/tex]
[tex]D=3-a>0[/tex] - вече знаем, че [tex]0<a<3[/tex]
Корените [tex]x_{1,\,\ 2}=1\pm \sqrt{3-a}[/tex]
явно удовлетворяват [tex](\ast)[/tex]

2 сл. [tex]2+2x-x^2< 0[/tex]
Уравнението има вида
[tex]-2-2x+x^2 =a[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]x^2-2x-2-a=0[/tex]
За да има два корена, трябва [tex]D>0[/tex] (което не носи нова информация за [tex]a, a>0[/tex]) и тези корени да удовлетворяват условието [tex]2+2x-x^2< 0[/tex] [tex](\ast \ast)[/tex]
Корените [tex]x_{3,\,\ 4}=1\pm \sqrt{a+3}[/tex]
явно удовлетворяват [tex](\ast \ast)[/tex]

Ясно е също, че четирите корена са различни помежду си за всяко [tex]a\in (0;\,\ 3).[/tex]

[monika_at]

Хахаха, точно днес я решавах с един мой ученик. Задача от ТУ Изпитът наближава, май? На 04.04 е. Най-лесното решение е с графика, както е написал Нолидж.

[Гост]

Дам, наближава, благодаря много на всички Ви. :)