Точно 2 решения

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]p[/tex], за всяка от които уравнението [tex]2x^3+3x^2-12x+p=0[/tex] има точно 2 решения.

[pal702004]

Когато -p е локален екстремум на функцията [tex]f(x)=2x^3+3x^2-12x[/tex]

Графично линията [tex]y=-p[/tex] ще пресече горната графика или в една, или в три точки. И в много редки случаи в два.
Тоест, когато има съвпадащи корени.

[Гост]

Когато -p е локален екстремум на функцията [tex]f(x)=2x^3+3x^2-12x[/tex]

Графично линията [tex]y=-p[/tex] ще пресече горната графика или в една, или в три точки. И в много редки случаи в два.
Тоест, когато има съвпадащи корени.

Можеш ли да разпишеш това, когато има съвпадащи корени и -p да е локален екстремум?

[ptj]

[tex]f(x)=2x^3+3x^2-12x[/tex]

[tex]f'(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)[/tex]

[tex]f'(x)[/tex] се нулира в [tex]x=1[/tex] и в [tex]x=-2[/tex].

[tex]f"(x)=12x+6\Rightarrow f"(-2)=18>0 ; f"(-2)=-18<0[/tex],

т.е. [tex]f(x)[/tex] има локален максимум [tex]f(-2)=-16+12+24=20[/tex] и локален минимум [tex]f(1)=-7[/tex].

Тогава хоризонтална линия [tex]g(x)=-p[/tex] има 2 пресечени точки с [tex]f(x)[/tex] само при [tex]-p=20[/tex] или [tex]-p=-7[/tex].

Zad2.bmp (1.2 MiB) Прегледано 126 пъти