Допиращи се окръжности

[Гост]

Две окръжности с радиуси 4см и 1см се допират външно. Радиусът на окръжността, която се допира външно до тези две окръжности и до тяхната обща външна допирателна, е равен на?

[Гост]

[tex]\frac{36-16\sqrt{2}}{49}[/tex]

[Гост]

[tex]\frac{36-16\sqrt{2}}{49}[/tex]

Май не е това, [tex]\frac{4}{9}[/tex] е посочен.

[Anubis]

Да, [tex]\frac{4}{9}[/tex] е. Сега ще ти напиша решението.

[Anubis]

Построяваме [tex]PQ||MK, \, O_{1}F||MK[/tex]. От правоъгълния [tex]\triangle O_{1}FO_{2}[/tex] намираме [tex]O_{1}F=4 \Rightarrow MK=4[/tex].

Означаваме радиуса на търсената окръжност с [tex]x[/tex] и [tex]KN=y, \, NM=4-y[/tex].

[tex]\triangle O_{1}PO_{3}: \, O_{1}P^2+PO_{3}^2=O_{1}O_{3}^2 \Rightarrow (1-x)^2+y^2=(x+1)^2 \Rightarrow y=2\sqrt{x}[/tex]

[tex]\triangle O_{2}QO_{3}: \, O_{2}Q^2+QO_{3}^2=O_{2}O_{3}^2 \Rightarrow (4-x)^2+(4-y)^2=(4+x)^2 \Rightarrow (4-y)^2=16x[/tex]

Оттук [tex](4-2\sqrt{x})^2=16x \Rightarrow 4(2-\sqrt{x})^2=4 \cdot 4x \Rightarrow 4\sqrt{x}=4-3x \ge 0 \Rightarrow 9x^2-40x+16=0[/tex].

Само единият корен на това уравнение удовлетворява неравенството [tex]4-3x \ge 0[/tex], значи само той е

решение на задачата. Получаваме [tex]x = \frac{4}{9}[/tex].