Куб - разстояние между А и BC1D

[Гост]

Даден е куб [tex]ABCDA_1B_1C_1D_1[/tex] с [tex]AB=1[/tex]. Разстоянието от върха [tex]A[/tex] до равнината [tex](BC_1D)[/tex] e равно на?

[Zarrie]

Очевидно няма как перпендикуляра през точка А да пресече равнината в точка, намираща се в куба.
Нека равнината през точките [tex]BC_{1}D=\varphi[/tex]
[tex]BD \in \varphi ,OC \bot BD, OC \in AC[/tex]
[tex]OC[/tex] е ортогонална проекция на [tex]OC_{1}[/tex]
От теорема за трите перпендикуляра следва, че [tex]C_{1}O \bot BD[/tex]
Перпендикулярна права през А ще пресече равнината [tex]\varphi[/tex]в точка лежаща на правата [tex]C_{1}O[/tex]
Построяваме тази перпендикулярна права до пресичането ѝ с [tex]C_{1}O[/tex] в точката Q
Намираме [tex]AC = \sqrt{2} \Rightarrow OC=AO\frac{\sqrt{2}}{2}, AC_{1} = \sqrt{3}[/tex]
[tex]\triangle OCC_{1} \Rightarrow OC_{1} = \frac{\sqrt{6}}{2}[/tex]
Прилагаме косинусова теорема за [tex]\triangle AOC_{1}[/tex]
Нека [tex]\angle AC_{1}O = \xi[/tex]
[tex]cos \xi = \frac{2\sqrt{2}}{3} \Rightarrow sin \xi = \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
[tex]\triangle AQC_{1} \Rightarrow \frac{AQ}{AC_{1}} = \sin \xi \Rightarrow AQ = 1[/tex]

[inveidar]

Много по-лесно е да се изрази обемът на пирамидата [tex]ABDC_1[/tex] по два начина. Веднъж с основа [tex]ABD[/tex] и втори път с основа [tex]BDC_1[/tex].

[Гост]

А всъщност според условието на задачата търсим AQ, нали? Защото като отговор е посочен [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex], а не виждам грешка в решението на Зари. Впрочем, Зари, благодаря за решение. Inveider, благодаря за идеята, по-късно ще пробвам и така :)

[Zarrie]

Предполагам грешката ми е изчислителна, защото няма как катетът AQ да е по-голям от хипотенузата AO.

[Гост]

Предполагам грешката ми е изчислителна, защото няма как катетът AQ да е по-голям от хипотенузата AO. :)

Ох, сега забелязах синусът накрая е 1/3.

[ptj]

Разстоянията от[tex]т. A[/tex] и [tex]т.C[/tex] до равнината [tex](BDC_1)[/tex] са еднакви.
Ако към дадения куб отдолу залепим същия [tex]ABCDA_2B_2C_2D_2[/tex], то [tex]A_1C_1C_2A_2[/tex] е правоъгълник, а в него разстоянията от средите на две срещуположни страни до диагонала са равни.

[tex]\angle C_1OC=\varphi[/tex]

[tex]tg\varphi=\frac{CC_1}{OC}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}[/tex]

[tex]sin^2\varphi=\frac{1}{1+cotg^2\varphi}=\frac{tg^2\varphi}{tg^2\varphi+1}=\frac{2}{3}[/tex]

[tex]C'[/tex] ортогонална проекция на [tex]C[/tex] в равнината [tex](BDC_1)[/tex].

[tex]CC'=OC.sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

[inveidar]

[tex]\Delta BDC_1[/tex] е равностранен със страна [tex]\sqrt{2}[/tex] и лицето му е [tex]S_{BDC_1}=\frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Тогава [tex]V_{BC_1DA}=\frac{S_{BDC_1}.x}{3}=\frac{\sqrt{3}.x}{6}[/tex], където [tex]x[/tex] е търсеното разстояние. От друга страна [tex]V_{ABDC_1}=\frac{S_{ABD}.CC_1}{3}=\frac{\frac{1}{2}.1}{3}=\frac{1}{6}[/tex]. Окончателно [tex]\frac{\sqrt{3}.x}{6}=\frac{1}{6} \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex].