Граница

[Гост]

Да се намери границата [tex]\lim_{n \to \infty}\frac{8a_n+\sqrt{1+{a_n}^2}-1}{a_n}[/tex] при [tex]\lim_{n \to \infty}a_n=0[/tex].

[MENKA]

Изнесете аn от числител и знаменател и ще получите 8.

[ptj]

А от корена как ще го извади след като не знае знака му?

Даже и с Лопитал не може да се определи знака.

[Гост]

Изнесете аn от числител и знаменател и ще получите 8.

А където е корена в числител как се стане? Или той цели корен е върху [tex]a_n[/tex] и това означава че клони към 0?

[ptj]

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{8x+\sqrt{1+{x}^2}-1}{x}= 8+\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+{x}^2}-1}{x}=8+\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+{x}^2}-1)(\sqrt{1+{x}^2}+1)}{x}=8+\lim_{x \to 0}\frac{1+x^2-1}{x}=8+\lim_{x \to 0}x=8[/tex]

след второто [tex]"="[/tex] уможих едното събираемо с [tex]\lim_{x \to 0}\sqrt{1+x^2}-1[/tex] и едновременно разделих с тази граница, т.е. с 2 за да не се промени резултата.

П.П. Заменил съм [tex]\lim_{а_n \to \infty}a_n[/tex] с [tex]\lim_{x\to 0}x[/tex], знаейки че първата граница е [tex]0[/tex],
Aко искаш може да си пишеш решението аналогично с [tex]a_n[/tex], а само накрая да използваш неговата граница.

[Гост]

Не разбрах от къде дойде тази 1/2. И не умножаваш ли с [tex]\lim_{x \to 0}\sqrt{1+x^2}+1[/tex] числителя и знаменателя?

[ptj]

Не разбрах от къде дойде тази 1/2. И не умножаваш ли с [tex]\lim_{x \to 0}\sqrt{1+x^2}+1[/tex] числителя и знаменателя?

Умножих само числителя с [tex]\lim_{x \to 0}\sqrt{1+x^2}+1[/tex] , знаменателя умножих с 2 (стойността на границата). А като изкараш 2-ката от знаменятеля пред скоба се получава множител [tex]\frac{1}{2}[/tex].

[Гост]

Ясно, благодаря.