Правоъгълник

[Гост]

Страните на правоъгълник са 3 и 9. През точка Е от по-малката страна е построена права, която пресича съседната страна в точка F така, че периметърът на получения триъгълник е 12. Да се намери най-голямото възможно лице на този триъгълник.

Линк към чертежа: http://prikachi.com/images/821/8034821N.png

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]\Delta AFE[/tex] е триъгълникът, чието най-голямо лице искаме да открием.
Да означим размерите на триъгълника както на чертежа. За множество от стойности на [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] като начало ще предполагаме [tex]x\in (0; \,\ 9)[/tex] и [tex]y\in (0; \,\ 3][/tex]

Максимално лице при постоянен периметър.PNG (5.4 KiB) Прегледано 176 пъти

Ще докажем, че [tex]maxS_{\Delta AFE}=6[/tex] и това лице се достига при [tex]x=4[/tex] и [tex]y=3[/tex].
Хипотенузата [tex]EF[/tex] на този триъгълник е [tex]5[/tex] - така периметърът му е [tex]12[/tex] - според условието.

Да допуснем, че има друг триъгълник [tex]\Delta AF'E'[/tex] -с по-голямо лице. Страните му могат да се изменят само по посочените два начина, описани по-долу - като катетът по [tex]AD[/tex] намалява, а катетът по [tex]AB[/tex] - расте, т.е. в означенията по-долу [tex]\epsilon >0[/tex] и [tex]\delta >0[/tex].

I случай. Страните му са [tex]AF'=4+\epsilon[/tex] и [tex]AE'=3-\epsilon[/tex]
Периметърът на [tex]\Delta AF'E'[/tex] също е [tex]12[/tex], но лицето му е [tex]\frac{1}{2}(4+\epsilon)(3-\epsilon)=\frac{12-\epsilon - \epsilon^2}{2}<6[/tex]
не се получи. Хипотенузата също трябва да се промени.

II случай. Страните му са [tex]AF'=4+\delta, \,\ \,\ AE'=3-\epsilon, \,\ \,\ F'E'=5+\epsilon - \delta[/tex]
От условието за периметъра
[tex](x+\delta)+(y-\epsilon) + (5-\delta + \epsilon) =12[/tex]
и от теоремата на Питагор
[tex](4+\delta)^2+(3-\epsilon)^2 = (5-\delta + \epsilon)^2[/tex]
получаваме
[tex]\epsilon \delta +9\delta =8\epsilon \,\ (\ast)[/tex]

Изразявайки лицето (използвайки [tex](\ast)[/tex])
[tex]\frac{1}{2}(4+\epsilon)(3-\epsilon)=\frac{12+3\delta -4\epsilon - \epsilon \delta}{2}=6+6(\delta - \epsilon)[/tex]

Явно [tex]S_{\Delta AF'E'}>6 \,\ \Leftrightarrow \,\ \delta > \epsilon[/tex]
Но като приложим отново [tex](\ast)[/tex], получаваме [tex]\delta > \epsilon \,\ \Leftrightarrow \epsilon <0[/tex], което противоречи на условието.

[ptj]

[tex]0<x\le3[/tex]

[tex]\sqrt{x^2+y^2}=12-x-y[/tex]

[tex]x^2+y^2=(12-x-y)^2[/tex]

[tex]x^2+y^2=144+x^2+y^2-24x-24y+2xy[/tex]

[tex]y=\frac{12(x-6)}{(x-12)}[/tex]

[tex]f(x)=\frac{xy}{2}=\frac{12x(x-6)}{2(x-12)}=\frac{6x(x-6)}{(x-12)}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{6(x^2-24x+72)}{(x-12)^2}=\frac{6(x-12-6\sqrt{2})(x-12+6\sqrt{2})}{(x-12)^2}[/tex]

[tex]3<12-6\sqrt{2}\Rightarrow f'(x)>0 : x\in(0;3][/tex] [tex]\Rightarrow max\big\{f(x)\big\}=f(3)=\frac{6.3.(3-6)}{(3-12)}=6[/tex]