Брой решения

[Гост]

Колко решения има уравнението [tex]sinx=\frac{x}{13}[/tex]?

[ptj]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sinx%3Dx%2F13

[monika_at]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sinx%3Dx%2F13

Блестящо!

[Zarrie]

9

[ptj]

"Неволята учи!"
Може да съобразят как се получават пресечените точки между права и синусуида.

Решенията са 7.

[monika_at]

"Неволята учи!"
Може да съобразят как се получават пресечените точки между права и синусуида.

Я дай едно решение

[ptj]

(1) Очевидно решение е x=0;

(2) [tex]sin(x)\in[-1;1] \Leftrightarrow x\in[-13;13][/tex]

(3)Графиките на [tex]sinx[/tex] и [tex]\frac{x}{13}[/tex] са непрекъснати и симетрични спрямо (0;0), т.е. [tex]sin(x)=-sin(-x)[/tex] и [tex]\frac{x}{13}=-\frac{(-x)}{13}[/tex],
затова можем да ограничим разглежданията за [tex]x\in(0;13][/tex]

(4) [tex]f(x)=\frac{x}{13}[/tex] е растяща функция в интервала (0;13] (с положителни стойности)

(5) Заради (4) ще разглеждаме само съответните интервалите, в които [tex]g(x)=sinx>0[/tex]

(6) g(x) е растяща в [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex] и намаляща в [tex](\frac{\pi}{2};\pi)[/tex],
[tex]f(\frac{\pi}{2})<g(\frac{\pi}{2})=1[/tex] ,
[tex]0=g(\pi)<f(\pi)=\frac{\pi}{13}[/tex]
Непрекъснатостта на [tex]f(x)[/tex] и [tex]g(x)[/tex] заедно с останалите факти от (6) ни дава една пресечна точка (едно решение) за графиките на споменатите фунции при [tex]x\in(0;\pi)[/tex]

...

Останалата част от решението няма смисъл да я пиша, защото са ме изпреварили.

[Knowledge Greedy]

Тъй като [tex]-1 \le sinx\le 1[/tex] ще трябва да разглеждаме само онези [tex]x,[/tex] за които [tex]\frac{|x|}{13}\le 1[/tex].
Т. е. търсим в колко точки правата с уравнение [tex]y=\frac{1}{13}x[/tex] пресича синусоидата [tex]y=sinx[/tex]
в интервала [tex](0; \,\ 13][/tex]. Получения брой ще умножим по две и ще добавим [tex]1[/tex] (решението [tex]x=0[/tex]).
Проследяваме [tex]x[/tex] последователно в интервалите [tex](0; \pi][/tex], [tex][2\pi; 3\pi][/tex] и [tex][4\pi; 13][/tex].

(На интервалите [tex](\pi; 2\pi)[/tex] и [tex](3\pi; 4\pi)[/tex] не обръщаме внимание, т.к. в тях [tex]\,\ sinx<0<\frac{1}{13}x[/tex].)

В първия интервал решението е едно: [tex]\frac{\pi}{2}<x_1 <\pi[/tex];
във втория интервал решенията са две: [tex]2\pi < x_2<\frac{5\pi}{2}[/tex] и [tex]\frac{5\pi}{2}< x_3< 4\pi[/tex].

В третия интервал решения няма защото [tex]0\le sin4\pi \le sinx \le sin13 < \frac{4\pi}{13}\le \frac{1}{13}x[/tex].
Така общият брой решения на уравнението е [tex]7.[/tex]

Осъзнаването на факта, че работим с непрекъснати (дори диференцируеми) функции е не само предимство, а и необходимост. Чисто алгебрично решение е невъзможно.

П. п.
Най-неочевидното неравенство от разглежданите по-горе е [tex]sin13 < \frac{4\pi}{13}[/tex],
затова ще му обърна повече внимание.
[tex]sin13 = sin(13-4\pi)< sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}< \frac{4\pi}{13}[/tex]

Тук [tex]13-4\pi < \frac{\pi}{6}[/tex] вече считам за очевидно.

Да, в съдружие с ptj сме направили страхотно решение

[Гост]

Благодаря, аз първоначално се мъчих алгебрично да го реша, но без абсолютно никакъв успех. Благодаря за обясненията и решенията.