Периодът на функцията

[Гост]

Периодът на функцията [tex]f(x)=sin(5x-\frac{\pi}{2})[/tex] е равен на?

Как да намеря тук периода на функцията?

[Knowledge Greedy]

Един начин, който се основава на определението.
Нека [tex]T[/tex] e най-малкият положителен период на [tex]f(x)[/tex].
Това означава, че [tex]\forall x \in D_f \Rightarrow f(x+T)=f(x)[/tex]
(Разбира се тук трябва да сме сигурни, че съответните [tex]x+T[/tex] също са от дефиниционното множество и т.н.)
Конкретно
[tex]sin \left [ 5(x+T)−\frac{π}{2} \right ] =sin(5x−\frac{π}{2})[/tex]
преобразуваме
[tex]cos 5(x+T) =cos5x[/tex]

[tex]cos 5(x+T)-cos5x[/tex]=0

[tex]-2sin \left ( 5x+\frac{5T}{2} \right ) sin \frac{5T}{2}=0[/tex]

Тъй като произведението в лявата страна по-горе е равно на нула за всяко [tex]x[/tex], то причината за това не може да се крие в множителя [tex]sin \left ( 5x+\frac{5T}{2} \right )[/tex], зависещ от [tex]x[/tex].
И стигаме до техническото изпълнение на въпроса - търсим минималното положително число [tex]T[/tex], за което [tex]sin \frac{5T}{2}=0[/tex]

[tex]\frac{5T}{2}=\pi[/tex]

[tex]T=\frac{2\pi}{5}[/tex]