Медиани

[Гост]

В триъгълник [tex]ABC[/tex] със страни [tex]BC=a[/tex] и [tex]AC=b[/tex] са построени медианите [tex]AA_1[/tex] и [tex]BB_1[/tex], които се пресичат в точка [tex]M[/tex]. Точките [tex]M[/tex], [tex]A_1[/tex], [tex]C[/tex] и [tex]B_1[/tex] лежат на една окръжност. Намерете дължината на страната [tex]AB.[/tex]

[Гост]

Отговорът е: [tex]AB=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/tex]

[Zarrie]

Нека [tex]AA_{1} = 3x,BB_{1}=3y[/tex]
[tex]AC.AB_{1}=AA_{1}.AM \Rightarrow \frac{b^2}{4}=6x^2 \Rightarrow MA_{1} = x = \frac{b\sqrt{3}}{6}[/tex]
Аналогично [tex]y=MB_{1} = \frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex]
Четириъгълникът [tex]MA_{1}CB_{1}[/tex]е вписан, следователно срещулежащите му ъгли се допълват до 180 градуса.
Прилагаме косинусова теорема 2 пъти за диагонала [tex]A_{1}B_{1}[/tex] който е средна отсечка в тригиълника и е равен на [tex]\frac{c}{2}[/tex]
[tex]\frac{c^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{4} - \frac{2ab}{4}.cos \gamma (1)[/tex]
[tex]\frac{c^2}{4}=\frac{3(a^2+b^2)}{36} + \frac{2ab}{12}.cos \gamma (2)[/tex]
Получаваме системата
[tex]c^2=a^2+b^2-2ab.cos\gamma[/tex]
[tex]9c^2=3(a^2+b^2)+6ab.cos\gamma[/tex]
Умножаваме първото уравнение по 3 и събираме двете уравнения
[tex]12c^2=6(a^2+b^2)\Rightarrow c^2=\frac{a^2+b^2}{2} \Rightarrow c = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/tex]

[Knowledge Greedy]

От мен само чертежа

Медицентър на триъгълник върху окръжност.PNG (20.13 KiB) Прегледано 199 пъти

Браво, Zarrie! Изпревари ме. При това доста елегантно.

[Zarrie]

Благодаря ! Благодаря Ви и за чертежа - признавам, че ме домързя да го направя