Височина на пирамида

[Гост]

Триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] има за основа равностранния [tex]\Delta ABC[/tex] и радиус на вписаната в пирамидата сфера [tex]R[/tex]. Околният ръб [tex]CD[/tex] е перпендикулярен на основата. Намерете дължината на височината на пирамидата, ако [tex]S_{ABD}:S_{ABC}=2:1[/tex].

[ptj]

Ръбът BD е височина в пирамидата.
Нека страната на основата е [tex]а[/tex].

[tex]S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex]

[tex]S_{ABD}=S_{CBD}=\frac{1}{2}BD.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}[/tex]

сл. [tex]BD=a\sqrt{3} \Rightarrow DA=DC=2a[/tex]

[tex]S_{ACD}=\frac{а^2\sqrt{15}}{4}[/tex] (височината [tex]\frac{а\sqrt{15}}{2}[/tex]се намира с Питагорова теорема)

[tex]\frac{1}{3}S_{ABC}.BD=V_{ABCD}=\frac{1}{3}(S_{ABC}+S_{ABD}+S_{BCD}+S_{ACD})R[/tex]

[tex]\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.2a=(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{a^2\sqrt{15}}{4})r[/tex]

[tex]a=(\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})r[/tex]

[tex]r=\frac{2a}{5+\sqrt{5}}=\frac{a(5-\sqrt{5})}{10}[/tex]

П.П Другия начин е с определянето на ГМ на центъра на вписаната окръжност. Вероятно ще имаш нужда и от чертеж...

[Гост]

В момента не съм вкъщи, но хвърлих един бърз поглед върху решението Ви, ще ми трябва наистина чертежче, но виждам че сте получили различен отговор, от този който е посочен - [tex]R(3+2\sqrt{3})[/tex]. Вкъщи ще прегледам по-обстойно и пак ще пиша :)

[ptj]

Уф, объркал съм перпендикулярния ръб (използвал съм [tex]BD[/tex]).

Ето правилното решение:

[tex]S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex]

[tex]S_{ABD}=\frac{1}{2}DC_1.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}[/tex]

сл. [tex]DC_1=a\sqrt{3} \Rightarrow DA=DB=\sqrt{3a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}[/tex]

[tex]CD=\sqrt{DA^2-CA^2}=\frac{3a}{2}[/tex]

[tex]S_{ACD}=S_{BCD}=\frac{a.CD}{2}=\frac{3а^2}{4}[/tex]

[tex]\frac{1}{3}S_{ABC}.CD=V_{ABCD}=\frac{1}{3}(S_{ABC}+S_{ABD}+S_{BCD}+S_{ACD})R[/tex]

[tex]\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2}=(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{3а^2}{4}+\frac{3а^2}{4})R[/tex]

[tex]a=\frac{2}{3}(3+2\sqrt{3})r[/tex]

височината в пирамидата е [tex]CD=\frac{3a}{2}=(3+2\sqrt{3})r[/tex]

[Гост]

Не разбирам какво бележиш с [tex]C_1[/tex]?

[ptj]

[tex]DC_1[/tex] e апотема към [tex]AB[/tex].

[Гост]

[tex]DC_1[/tex] e апотема към [tex]AB[/tex].

Не мога да разбера второто изразяване на обема, какво използваш?

[ptj]

4 пирамиди (обеми) с вътрешен връх - центъра на вписаната сфера [tex](т.O)[/tex].

[tex]V_{ABCD}=V_{ABCO}+V_{ABDO}+V_{ACDO}+V_{BCDO}[/tex]

П.П. Сменях [tex]"R"[/tex] с [tex]"r"[/tex], за да е ясно че е радиус на вписана сфера, но не съм го направил навсякъде.