Най-малко лице

[Гост]

Да се намери абсцисата на точка от графиката на функцията [tex]y=2x-x^2[/tex], за която трапеца образуван от допирателната в тази точка, абсцисната ос, ординатната ос и правата [tex]x=1[/tex], има най-малко лице.

[Knowledge Greedy]

При [tex]m=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]minS=\frac{3}{4}[/tex]

[Гост]

Как го получихте?

[Knowledge Greedy]

Означаваме [tex]f(x)=2x-x^2[/tex]
Производната
[tex]f'(x)=2-2x[/tex]

Допирателната е с уравнение [tex]y=kx+b[/tex]
Точката на допиране [tex]M(m; \,\ f(m))[/tex]

Допирателната в тази точка има ъглов коефициент [tex]k=f'(m)=2-2m[/tex]
Понеже точката лежи и на допирателната (освен на графиката на функцията [tex]y=f(x)[/tex]), то
[tex]y=(2-2m)m+b=f(m)[/tex]

Намираме [tex]b[/tex]
[tex]b=m^2[/tex]
Така уравнението на допирателната добива вида [tex]y=(2-2m)x+m^2[/tex]

Едната основа на трапеца се получава като [tex]y[/tex] при [tex]x=0[/tex],
тя е [tex]b=m^2[/tex].
Другата основа е [tex]a=y[/tex] при [tex]x=1[/tex], т.е. [tex]a=m^2-2m+2[/tex]

Височината на трапеца е [tex]1[/tex] - това е разстоянието от правата [tex]x=0[/tex] до правата [tex]x=1[/tex].
Лицето на трапеца е [tex]S=\frac{a+b}{2}h=m^2-m+1[/tex]

Изследваме лицето като функция на [tex]m[/tex]
[tex]S(m)=m^2-m+1[/tex] и получаваме търсения отговор.