Система

[Гост]

Множеството от стойности на параметъра [tex]a[/tex], за които системата \begin{array}{|l} x^2 + y^2 = 16 \\ y = 0,75x - a \end{array} има точно две решения е?

[MENKA]

Заместете в първото уравнение от системата y=0,75x-a и ще получите квадратно уравнение за x
При D>0 КУ ще има 2 решениа

[Knowledge Greedy]

Намираме един диаметър [tex]PQ[/tex] на окръжността с уравнение [tex]x^2+ y^2 = 16[/tex] такъв, че
[tex]\begin{array}{|l} y = -\frac{4}{3}x \\ x^2+ y^2 = 16 \end{array}[/tex]
Решенията на тази система са координатите на [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] .
[tex]P\left ( -\frac{12}{5}; \,\ \frac{16}{5} \right )[/tex] и [tex]Q\left ( \frac{16}{5}; \,\ -\frac{12}{5} \right )[/tex]

Ограниченията за параметъра [tex]a[/tex], ще получим като заместим с тези координати във второто уравнение на дадената система [tex]y = \frac{3}{4}x-a[/tex]

[tex]a_2=\frac{3}{4}.\frac{16}{5}-\left ( -\frac{12}{5} \right )=\frac{24}{5}[/tex]
[tex]a_1=\frac{3}{4}.\left (- \frac{12}{5} \right )-\left ( \frac{16}{5} \right )=-\frac{25}{5}=-5[/tex]

Двойка взаимноперпендикулярни прави.PNG (22.01 KiB) Прегледано 243 пъти

Така правата с уравнение [tex]y = \frac{3}{4}x-a[/tex] ще пресича дадената окръжност в две точки
[tex]\Leftrightarrow \,\ a\in \left ( -5; \,\ \frac{25}{4} \right )[/tex]

[Гост]

Като отговор е посочен [tex]a\in(-5;5)[/tex]. Дали някъде нещо трябва да се коригира от решението Ви?

[pipi langstrump]

Сигурно трябва, защото очевидно интервала за [tex]а[/tex] трябва да е симетричен спрямо нулата.
Иначе, ако знаеш малко аналитична геометрия, може и по-лесно - намираш нормалното уравнение на правата - [tex]\pm\frac{4}{5}(y - \frac{3}{4}x + a)=0[/tex], оттука разстоянието й до центъра на окр. е [tex]\pm\frac{4а}{5}[/tex]. Когато [tex]а[/tex] e строго между -5 и 5 разстоянието е по-малко от радиуса => тогава системата има 2 решения.

[Гост]

Ами задачата е от сборник за ТУ, мисля че трябва да има някакво по-лесно решение с учебен материал.

[inveidar]

Ами задачата е от сборник за ТУ, мисля че трябва да има някакво по-лесно решение с учебен материал.

Е, има, естествено! Заместваш игрека в първото уравнение и получаваш квадратно уравнение относно хикс. Сега остава да намериш за кои стойности на параметъра то има точно две решения, т.е да откриеш за кои стойности на параметъра дискриминантата му е положителна. Не знам защо ти показват такива фантасмагории, когато е ясно, че ти си нямаш представа как се решава система?!

[ptj]

Решение с училищен материла има, но се изисква да го знаеш.

Първото е уравнение на окръжност, докато второто е права (с ъглов коефициент [tex]\frac{3}{4}[/tex]).
Т.е. иска се да намериш кога правата пресича окръжността.
За окръжността има 2 допирателни със същия ъглов коефициент, а търсените прави са им успоредни и се намират точно между тях.

Използвайки механичния смисъл на първата производна можеш да намериш въпросните допирателни, а след това и решенията.

[Гост]

Ами да, Knowledge Greedy като е разменил координатите на [tex]Q[/tex] , ще има място за спор.
[tex]Q\left ( \frac{12}{5}; \,\ -\frac{16}{5} \right )[/tex]
Интересно защо не е забелязал липсата на СИМЕТРИЯТА в отговора, тя Е НАТРАПВАЩА СЕ!

[Гост]

inveider, разбира се, че тръгнах по този път, но явно съм изпитал затруднение и затова съм написал задачата. Все пак благодаря Ви за идеите. Може би и аз имам вина, че не написах какво съм получил и как точно съм работил, за което се извинявам. Все пак успях да си намеря грешката - след като съм заместил с у в първото уравнение се получава това: [tex]25x^2-24ax+16a^2-256=0[/tex] и тук при намиране на дискриминантата на това уравнение не съм бил повдигнал а-то пред коефицианта b на втора степен и то там ми се получаваха едни ужасии и не можах да осъзная грешката си, въпреки многократното преглеждане на сметки, това ми е убягнало.

[drago]

Ами задачата е от сборник за ТУ, мисля че трябва да има някакво по-лесно решение с учебен материал.

Е, има, естествено! Заместваш игрека в първото уравнение и получаваш квадратно уравнение относно хикс. Сега остава да намериш за кои стойности на параметъра то има точно две решения, т.е да откриеш за кои стойности на параметъра дискриминантата му е положителна. Не знам защо ти показват такива фантасмагории, когато е ясно, че ти си нямаш представа как се решава система?!

Абсолютно. Понякога най-простата и естествената идея решава нещата. Вижте поста на Менка.

[inveidar]

Видях го, но късно! Извинявай, Менка!