Геометрия

[Гост]

Здравейте! Може ли отново малко помощ :)
Затормозяват ме следните 2 задачи:

1.Даден е трапец ABCD AB||CD и AB=3CD.Нека е т.О е пресечната точка на диагоналите на трапеца и S(AOB)+S(COD)=100.Лицето на трапеца е?

На тази стигам до намирането на лицата на S(AOB) и S(COD),но незнам как да продължа за намиране лицата на триъгълници AOD и BOС...


2.За триъгълник ABC е дадено,че [tex]\angle ABC=150^\circ[/tex] [tex]AH1 \bot BC[/tex] [tex]CH2 \bot AB[/tex] Лицето на триъгълник BH1H2=S.Лицето на ABC e?

Благодаря ви!

[MENKA]

ЛИЦЕТО на трапеца =(3CD+CD)*h/2=(4CD)*(h1+h2)/2

лице т-к AOB/лице на т-к COD=1/9
лице т-к AOB+COD=100
Намирате поотделно на колко са равни лицата на двата т-ка.

След това решавате системата

лице на AOB=(3*CD*3*h1)/2
лице на COD=(CD*h1)/2
Намирате CD и h1,а после и AB,h2

[Knowledge Greedy]

Получил си явно [tex]S(AOB)=75[/tex] и [tex]S(COD)=25[/tex]

Но [tex]\Delta AOB \,\ \sim \Delta COD[/tex] и тъй като [tex]k^2=75:25=3 \,\ \Rightarrow \,\ k=\sqrt{3}[/tex]
Тогава от двата триъгълника [tex]\Delta AOD[/tex] и [tex]\Delta DOC[/tex] с обща височина през върха [tex]D[/tex] към основите, лежащи върху единия диагонал [tex]AC[/tex], намираме [tex]S(AOD)=25\sqrt{3}[/tex].
Аналогично [tex]S(BOC)=25\sqrt{3}[/tex].
Тогава [tex]S_{ABCD}=100+50\sqrt{3}[/tex]

Във втората задача се налага да продължим [tex]CH_2[/tex] и [tex]AH_1[/tex] до пресичането им в ортоцентъра [tex]H[/tex] на [tex]\Delta ABC[/tex].
След това разглеждаме две двойки подобни триъгълници.
Първата [tex]\Delta ACH \sim \Delta H_2H_1H[/tex] ни дава отношението [tex]\frac{AC}{H_2H_1} =\frac{1}{cos{30^\circ}}[/tex]
Втората двойка е [tex]\Delta ACB \sim \Delta H_2H_1B[/tex], в която знаем лицето [tex]S[/tex] на втория триъгълник. Коефициентът им на подобие е същият, както на първата двойка - участва същата двойка съответни страни.

Остава да използваме, че отношението на лицата на подобните фигури е равно на квадрата на коефициента на подобие и получаваме [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{1}{cos^230^\circ}S=\frac{4}{3}S[/tex].

[monika_at]

Получил си явно [tex]S(AOB)=75[/tex] и [tex]S(COD)=25[/tex]

Но [tex]\Delta AOB \,\ \sim \Delta COD[/tex] и тъй като [tex]k^2=75:25=3 \,\ \Rightarrow \,\ k=\sqrt{3}[/tex]
Тогава от двата триъгълника [tex]\Delta AOD[/tex] и [tex]\Delta DOC[/tex] с обща височина през върха [tex]D[/tex] към основите, лежащи върху единия диагонал [tex]AC[/tex], намираме [tex]S(AOD)=25\sqrt{3}[/tex].
Аналогично [tex]S(BOC)=25\sqrt{3}[/tex].
Тогава [tex]S_{ABCD}=100+50\sqrt{3}[/tex]

Във втората задача се налага да продължим [tex]CH_2[/tex] и [tex]AH_1[/tex] до пресичането им в ортоцентъра [tex]H[/tex] на [tex]\Delta ABC[/tex].
След това разглеждаме две двойки подобни триъгълници.
Първата [tex]\Delta ACH \sim \Delta H_2H_1H[/tex] ни дава отношението [tex]\frac{AC}{H_2H_1} =\frac{1}{cos{30^\circ}}[/tex]
Втората двойка е [tex]\Delta ACB \sim \Delta H_2H_1B[/tex], в която знаем лицето [tex]S[/tex] на втория триъгълник. Коефициентът им на подобие е същият, както на първата двойка - участва същата двойка съответни страни.

Остава да използваме, че отношението на лицата на подобните фигури е равно на квадрата на коефициента на подобие и получаваме [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{1}{cos^230^\circ}S=\frac{4}{3}S[/tex].

Оплескал си к. По условие к=3=> лицата се отнасят както 1:9=>[tex]S_{DOC}=10; S_{OB}=90[/tex];[tex]AO:OC=3:1=>S_{AOD}=3S_{DOC}=30=S_{BOC}[/tex]

[Гост]

Грийди имам 2 въпроса относно 2ра задача.
Как доказа,че ACB и H1H2B са подобни?(AC||H1H2 ? Но защо?)
И как намери коефициента на подобие само чрез ъглите?(т.е. това [tex]{AC \choose H1H2} ={1 \choose cos30}[/tex]) ?

[Knowledge Greedy]

Благодаря на monika_at за корекцията! Задачата си е за цели числа

Трябва да изглежда така:
Получил си явно [tex]S(AOB)=90[/tex] и [tex]S(COD)=10[/tex]

Но [tex]ΔAOB ∼ΔCOD[/tex] и тъй като [tex]k=3[/tex]
Тогава от двата триъгълника [tex]ΔAOD[/tex] и [tex]ΔDOC[/tex] с обща височина през върха [tex]D[/tex] към основите, лежащи върху единия диагонал [tex]AC[/tex], намираме [tex]S(AOD)=30[/tex].
Аналогично [tex]S(BOC)=30.[/tex]
Тогава [tex]S_ABCD=100+2.30=160[/tex].


Относно въпросите по втората задача.
Не съм казвал, че [tex]AC||H_1H_2[/tex] Това не е вярно. (Само при равнобедрен, с основа AC)
Но действително [tex]\Delta ACB[/tex] и [tex]\Delta H_1H_2B[/tex] са подобни

С подобие или само с косинус ....PNG (6.74 KiB) Прегледано 157 пъти

Ще разгледаме първо двойката [tex]ΔACH[/tex] и [tex]ΔH_2H_1H[/tex]
Без съмнение тези триъгълници имат общ ъгъл [tex]30^\circ[/tex].
Освен това [tex]\frac{H_2H}{AH}=cos30^\circ=\frac{H_1H}{CH}[/tex]
По втори признак следва, че [tex]ΔACH∼ΔH_2H_1H[/tex]

Оттук отношението на третите им страни [tex]\frac{H_2H_1}{AC}=cos30^\circ[/tex]

Сега за [tex]\Delta ACB[/tex] и [tex]\Delta H_1H_2B[/tex].
И двата са вписани в окръжност с диаметър [tex]AC[/tex].
1. [tex]\angle CAB(H_2)=\angle H_2H_1B(C)[/tex] - вписани в споменатата окръжност, мерят се с половинката от дъгата [tex]CH_2[/tex].
2. Имат двойка равни ъгли - връхните [tex]\angle ABC[/tex] и [tex]\angle H_1BHH_2[/tex]
Следователно са подобни по първи признак.