Остров

[Гост]

Остров е населен от 90 зелени, 65 кафяви и 151 червени екзотични животни от род "Hammy". Те имат тази особеност, че когато се срещнат две животни от различен цвят, то те едновременно сменят двата си цвята с третия. След известно време всички животни на острова от род "Hammy" ще се оцветят в?
а) зелено;
б) кафяво;
в) червено;
г) синьо;
д) друг отговор.

Верен отговор - Д). В какъв цвят ще се оцветят, може ли да се определи, че аз нещо много не схващам задачата и кой е тоя третия им цвят - ако се срещнат червен и зелен - ще си сменят цвета на кафяв или аз нещо не разбирам?

[s.karakoleva]

От каква област е тази задача?
Това което пиша надолу не е решение, а разсъждение. Прилича на генетичен алгоритъм и някой би могъл да направи програма за изчисляване на броя на животните с различни цветове след всяка среща.

Първо, забелязваме, че общият брой на хамитата е четно число, следователно е възможно всяко животинче да се срещне с друго в един и същ „момент“. Но и да са нечетен брой, останалото самотно може да почака малко и пак да се срещне с друго за да си сменят заедно цвета. При нечетен брой винаги ще има поне едно при всяка колективна среща, което ще си сменя цвета по-рядко.

Установява се, че след няколко колективни срещи, винаги остават два цвята и няма как да остане един цвят. Ще разгледам два примера:
1. пример:
1 среща: 90 зелени+90 черв.=180 каф.
61 каф.+61 черв.= 122 зел.
остават без среща 4 каф.
След 1 среща има 184 каф. и 122 зел.

2 среща: 122 каф. и 122 зел=244 черв.
62 каф. остават каф.
След 2 среща има 244 черв. и 62 каф.
...................
2. пример:

1 среща: 65 зел+65 каф.=130 черв.
25 зел. +25 черв=50 каф.
126 червени чакат
след 1 среща има 256 черв. и 50 каф.

2 среща: 50 черв. и 50 каф.=100 зел.
206 черв. остават без партньор
След 2 среща има 206 черв. и 100 зел. ....

Така ако процесът продължи, винаги ще има два цвята. За да се получи 1 цвят, трябва след срещата да останат по равно от два цвята.

[Гост]

Нямам представа от какво област са, може би от област биология, но иначе задачата е от сборник с примерни теми за ТУ. Стори ми се интересна и реших да я пусна. Благодаря за разсъжденията, ще се радвам да видя още такива :)

[Knowledge Greedy]

Всички ще станат кафяви!
Защо?
Нека броят на промените на цвета по двойки е както следва
(това са само срещите на разноцветни Hummy-та с промяна в третия цвят) :
- кафяви и червени [tex]\rightarrow \,\ x[/tex]
- червени и зелени [tex]y[/tex]
- зелени и кафяви [tex]z[/tex]
В началото броят им е (зелени, кафяви, червени) [tex]=(90, \,\ 65, \,\ 151)[/tex] - общо [tex]306[/tex].

В края броят им ще е както следва:
- зелени [tex]\zeta =90+2x-y-t[/tex]
- кафяви [tex]k =65-x+2y-t[/tex]
- червени [tex]r=151-x-y+2t[/tex]

Едно от горните три числа ще е [tex]306[/tex], а другите две са нули.

Не е възможно [tex]\zeta =306[/tex], защото [tex]\zeta + 2r = 320+3(y- t)=360[/tex] (do not, гледай [tex](mod 3)[/tex])
Не е възможно [tex]r=306[/tex], защото [tex]2r+k=281+3(y- x)=360[/tex] - също противоречие по [tex](mod 3)[/tex].
Остава
[tex]k =65-x+2y-t=306[/tex].

Но трябва да посочим и пример. Предполагам, че авторът е имал предвид да се решава система.
Ето решение на тази система
[tex]\begin{array}{|l} x = 109 \\ y = 65 \\ z = 241 \end{array}[/tex].

[Гост]

Като преглеждах решението ти ми се струва вярно, интересно защо са дали друг отговор. А и задачата е от първите в теста и би следвало да не е с толкова разсъждения и сметки, но явно и такива се срещат. :]

[Knowledge Greedy]

Единствената възможност хъмитата да се оцветят в един цвят е кафявият.

Но ако Природата е разделила острова на недостъпни райони или да кажем има "недружелюбни" хъмита, които не поглеждат останалите (от другите цветове) и не си сменят цвета - винаги ще си има хъмита от трите цвята, или от два цвята.

Ето, еволюцията на "общуването" може да зацикли и така.
В началото са (90, 65, 151).
После стават (89, 64, 153)
(91, 63, 152)
(90, 65, 151) и т.н.

Получихме цикъл. Сигурно с това "оригиналничене" авторът е искал да излезе от категоричния отговор Б) и е съсипал задачата като е дал заден ход с Д).

[pal702004]

Задачата се решава по модул 3. Винаги броят на животните от единият цват е [tex]0 \pmod 3[/tex], от вторият цвят [tex]1 \pmod 3[/tex], а от третият - [tex]2 \pmod 3[/tex] (както е в началото). И следователно няма начин две групи да имат еднакъв (нулев) брой.

Наистина, нека [tex]A \equiv 0 \pmod 3,B\equiv 1 \pmod 3,C\equiv 2 \mod 3[/tex]

Ако се срещнат животно от група B и животно от група C

[tex]A'\equiv 2 \mod 3,B'\equiv 0 \pmod 3,C' \equiv 1\pmod 3[/tex]

Ако се срещнат A и B

[tex]A'\equiv 2 \mod 3,B'\equiv 0 \pmod 3,C' \equiv 1\pmod 3[/tex]

Ако се срещнат A и C

[tex]A'\equiv 2 \mod 3,B'\equiv 0 \pmod 3,C' \equiv 1\pmod 3[/tex]

Правилен отговор: Не е възможно всички животни да се оцветят в един цвят.

[drago]

Изпревари ме, но не пречи да постна и моето разсъждение
Няма как да остане само един цвят. Да фиксираме два цвята, напр. зелен и червен. Тогава (брой залени - брой червени) по модул 3 е едно и също както и да върви процеса. Както се казва в дебелите учебници, намерихме инвариант. Това се отнася до кои да е 2 цвята. Тъй като в първоначалното положение няма разлика м/у два цвята която да се дели на 3, то няма да има във всеки един момент, т.е. няма как да се получат 2 нули.

ПП. Намирането на инвариант е един от прийомите при такъв тип задачи, в които може да правим определени операции в/у зададена конфигурация.