Функцията f(x)

[Гост]

За функцията [tex]f(x)[/tex] е известно, че [tex]f(x)+3f(\frac{1}{x})=x^2[/tex] за всяко [tex]x>0[/tex]. Числото [tex]f(2)[/tex] е равно на?
Отговорът е [tex]-\frac{13}{32}[/tex].

[Гост]

Ясно е, че [tex]f(2)=4-3f(\frac{1}{2})[/tex], но това [tex]f(\frac{1}{2})[/tex] не знам как да го запиша след като нямам дадена функция за [tex]f(x)=?[/tex]

[pipi langstrump]

Изрази го от уравнението като положиш x = 1/2 и замести и ще получиш уравнение за f(2)

[Гост]

Не разбрах, можеш ли да разпишеш 2 реда само. Полагам [tex]x=\frac{1}{2} \Rightarrow f(\frac{1}{2})+3f(2)=\frac{1}{4}[/tex]. Май нещо не те разбрах.

[ptj]

[tex]f(\frac{1}{2})+3f(2)=\big(\frac{1}{2}\big)^2[/tex]

[tex]f(2)+3f(\frac{1}{2})=2^2[/tex]

Умножаваме първото по [tex](-3)[/tex] и го прибавяме към второто:

[tex]f(2)-9f(2)+3f(\frac{1}{2})-3f(\frac{1}{2})=2^2-3.\big(\frac{1}{2}\big)^2[/tex]

[tex]-8f(2)=\frac{13}{4}[/tex]

[tex]f(2)=\frac{-13}{32}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Означи си [tex]f(2)=y[/tex] и [tex]f\left ( \frac{1}{2} \right )=z[/tex] .

Това, което си разписал разглеждаш като система.
[tex]f(2)=4-f\left ( \frac{1}{2} \right )[/tex]
и
[tex]f \left ( \frac{1}{2} \right )+3f(2)=\frac{1}{4}[/tex]
изглеждат така
[tex]\begin{array}{|l} y = 4-3z \\ z+3 y = \frac{1}{4} \end{array}[/tex]

Решаваме я:\begin{array}{|l} y = -\frac{13}{32} \\ z=... \end{array}

[drago]

Задачата за домашно в училище ли е дадена ?

[Гост]

Не, допълнително решавам тестове. Не е за тази тема ли?

[drago]

Нямах предвид, че не е за този раздел. Просто ми стана любопитно, понеже скоро видях тук доста подобна: viewtopic.php?f=40&t=16812
От какви тестове е, ако не е тайна ?

[Гост]

Тестове по Математика за кандидатстудентски изпити в Технически университет - София - Второ преработено издание, 2014

Автори: доц. д-р Марин Стефанов Маринов, доц. д-р Георги Пенчев Венков, проф. д-р Красимира Стоянова Проданова