Докажете тъждеството.

[Гост]

tg([tex]\alpha+\beta[/tex])-tg[tex]\alpha[/tex]=2tg[tex]{\beta \choose 2}[/tex], ако cos([tex]2\alpha+\beta[/tex])=1

[Knowledge Greedy]

[tex]cos( 2\alpha + \beta )=1 \,\ \Rightarrow \,\ sin( 2\alpha + \beta )=0\,\ \Rightarrow \,\ tg( 2\alpha + \beta )=0[/tex]

Извод 1. [tex]tg 2\alpha = -tg \beta[/tex]

Извод 2. [tex]tg( \alpha + \beta )= -tg \alpha[/tex]

Извод 3. [tex]tg\,\ 2\left ( \alpha + \frac{\beta }{2} \right ) = \frac{2tg ( \alpha + \frac{\beta }{2})}{1-tg^2( \alpha + \frac{\beta }{2})}=0 \,\ \Rightarrow \,\ tg \alpha =-tg \frac{\beta }{2}[/tex]


[tex]tg\beta = tg(\alpha + \beta - \alpha)=\frac{ tg(\alpha + \beta)- tg\alpha}{1+tg(\alpha + \beta)tg\alpha}[/tex]

Следователно [tex]tg( \alpha + \beta )- tg \alpha = \left [ 1+tg( \alpha + \beta )tg \alpha \right ] tg \beta[/tex]

Сега заместваме последователно левите страни на изводите [tex]2 , \,\ 1[/tex] и [tex]3[/tex] с десните:

[tex]tg( \alpha + \beta )- tg \alpha =- \left [ 1- tg^2 \alpha \right ]tg 2\alpha = -2tg \alpha = 2tg \frac{\beta }{2}[/tex]