Височина на пирамида

[Гост]

Пирамидата ABCD има за основа правоъгълен триъгълник ABC, в който ъгъл АСВ е 90 градуса. Околните ръбове на пирамидата са равни помежду си. Околната стена през ръба АВ има ъгъл при върха D равен на [tex]2\alpha[/tex] и лице 9 квадратни сантиметра . Да се намери височината на пирамидата.

[Гост]

Може ли да помогнете по задачката?

[kmitov]

Щом околните ръбове са равни, то върхът D се проектира ортогонално в центъра на описаната около основата окръжност. За правоъгълния триъгълник ABC това е средата М на хипотенузата AB. Сега височината на пирамидата е DM, която е височина и на равнобедрения триъгълник ABD с ъгъл D = [tex]2\alpha[/tex] и лице 9 кв. см.

Как да се намери височината DM, ами например [tex]S=\frac{1}{2} AD.BD.\sin 2\alpha=9[/tex]. Така [tex]AD=BD=\frac{18}{\sin 2\alpha}.[/tex] От правоъгълния триъгълник ADM с ъгъл [tex]ADM=\alpha[/tex] и страна AD имаме [tex]DM/AD=\cos \alpha[/tex]. Tака [tex]DM=\frac{18}{\sin 2 \alpha}. \cos \alpha.[/tex]