Най-малък периметър

[Гост]

Да се намери височината на равнобедрения трапец, който има най-малък периметър, ако трапецът има лице 72 квадратни сантиметра и ъгъл 30 градуса при голямата основа.

[s.karakoleva]

trapec10.png (4.06 KiB) Прегледано 193 пъти

Накратко: Нека [tex]DH=x>0[/tex]
[tex]AH=\sqrt3 x, \ AD=BC=2x[/tex]
[tex]S=(\sqrt3 x+b) x\Rightarrow b=\frac{72-\sqrt3 x^2}{x}[/tex]
[tex]P(x)=4x+2b+2\sqrt3 x=4x+\frac{2(72-\sqrt3 x^2)}{x}+2\sqrt3 x[/tex]
[tex]P'(x)=\frac{4(x^2-36)}{x^2}[/tex]
[tex]P'(x)=0 \ \mbox{при}\ x=\pm 6[/tex]
[tex]x=6\in \mbox{ДС}[/tex]
[tex]P''(6)>0[/tex] следователно функцията има минимум при [tex]x=6[/tex]
[tex]P(6)=48[/tex].