Правилна четириъгълна пирамида.

[Гост]

В Правилна четириъгълна пирамида. UABCD двустенният ъгъл между две съседни околни стени е [tex]\delta[/tex], ъгълът между два съседни околни ръба е [tex]\gamma[/tex],а [tex]\angle AUC=\varphi[/tex]. Да се докаже, че
а) 2cos[tex]\gamma[/tex] - cos[tex]\varphi[/tex] = 1
б) cos[tex]\delta[/tex] + [tex]tg^{2}\frac{\gamma}{2}[/tex]=0

[ева]

а) Нека UO е височина на пирамидата,а UP е височина в [tex]\triangle[/tex]BCU;AB=a,UO=h,UC=l;[tex]\angle[/tex]BUC=[tex]\gamma[/tex],[tex]\angle[/tex]AUC=[tex]\varphi[/tex]
UP,UO се явяват ъглополовящи в равнобедрените [tex]\triangle[/tex]BCU,[tex]\triangle[/tex]ACU
sin[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]=[tex]\frac{\frac{a}{2}}{l}[/tex]=[tex]\frac{a}{2l}[/tex] (1) ; cos[tex]\frac{\varphi}{2}[/tex]=[tex]\frac{h}{l}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]OCU-правоъг. [tex]h^{2}[/tex]+([tex]\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}[/tex]=[tex]l^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]h^{2}[/tex]+[tex]a^{2}[/tex]=2[tex]l^{2}[/tex] (3)

Скрит текст: покажи

Ще опростяваме лявата страна,докато получим дясната страна.

2cos[tex]\gamma[/tex]-cos[tex]\varphi[/tex]=
=2cos2([tex]\frac{\gamma}{2}[/tex])-cos2([tex]\frac{\varphi}{2}[/tex])=
=2(1-2[tex]sin^{2}[/tex][tex]\frac{\gamma}{2}[/tex])-(2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\frac{\varphi}{2}[/tex]-1)=
=2-4[tex]sin^{2}[/tex][tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]-2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\frac{\varphi}{2}[/tex]+1= [от (1),(2)]
=3-4[tex]\frac{a^{2}}{4l^{2}}[/tex]-2[tex]\frac{h^{2}}{l^{2}}[/tex]=
=3-[tex]\frac{a^{2}+2h^{2}}{l^{2}}[/tex]= [от (3)]
=3-[tex]\frac{2l^{2}}{l^{2}}[/tex]=
=3-2=
=1