Неправилна пирамида

[Гост]

Основата на четириъгълна пирамида ABCDM е трапец ABCD с периметър 90 и малка основа CD равна на 18.Диагоналът BD разполовява ъгъл ADC. Намерете обема на пирамидата ако дължините на всичките и околни ръбове имат дължина 20.

[ptj]

Щом околните ръбове са равни, то върха [tex]М[/tex] се проектира в центъра на описаната окръжност в основата,
т.е. трапеца [tex]ABCD[/tex] e равнобедрен.

В задачата има очевидна грешка, не е възможно периметъра на трапеца да е 90, малката основа [tex]CD=18[/tex] и същевременно диагонала [tex]BD[/tex] да разполовява [tex]\angle ADC[/tex]. Възможно е [tex]BD[/tex] да разполовява [tex]\angle ABC[/tex] и затова ще решавам задачата за това условие.

[tex]\angle ABD=\angle CBD[/tex] - по условие

[tex]\angle ABD=\angle BDC[/tex] - вътрешно кръстни при [tex]AB\parallel CD[/tex] пресечени с [tex]BD[/tex]

От последните две равенства [tex]\Rightarrow \angle BDC=\angle CBD\Rightarrow CD=CB[/tex]

т.е. [tex]CD=CB=AD=18 \Rightarrow AB=36[/tex]

Височината в трапеца е [tex]9\sqrt{3}\Rightarrow sin (\angle BAD)=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \angle BAD=60^\circ \Rightarrow \angle ADB=90^\circ[/tex]

Тогава средата [tex]O[/tex] на [tex]AB[/tex] e център на описаната окръжност в трапеца.

[tex]h=\sqrt{20^2-18^2}=2\sqrt{19}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=3.S_{AOD}=3.81\sqrt{3}=243\sqrt{3}[/tex]

[tex]V_{ABCDM}=\frac{1}{3}h.S_{AOB}=162\sqrt{57}[/tex]