Логаритъм

[Гост]

[tex]\sqrt{log_{a }\frac{3x-1}{1-x}}[/tex][tex]\le[/tex]1

[Knowledge Greedy]

При [tex]a>1[/tex] неравенството е еквивалентно на системата
[tex]\begin{array}{|l} \frac{3x-1}{1-x}\ge1 \\ \frac{3x-1}{1-x}\le a\end{array} \,\ \Leftrightarrow \,\ \begin{array}{|l} \frac{1}{2}\le x <1 \\ x\le \frac{a+1}{a+3} \end{array} \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{1}{2}\le x \le \frac{a+1}{a+3}[/tex]

При [tex]0<a<1[/tex] неравенството е еквивалентно на системата
[tex]\begin{array}{|l} \frac{3x-1}{1-x}\le 1 \\ \frac{3x-1}{1-x}\ge a\end{array} \,\ \Leftrightarrow \,\ \begin{array}{|l} x \in (-\infty; \,\ \frac{1}{2}]\cup (1; \,\ +\infty) \\ x\in [\frac{1}{3}; \,\ 1)\\ \frac{(a+3)x-a-1}{1-x}\ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \,\ \begin{array}{|l} x \in [\frac{1}{3}; \,\ \frac{1}{2}] \\ (a+3)x \ge a+1 \end{array} \Leftrightarrow \,\ \frac{a+1}{a+3} \le x \le \frac{1}{2}[/tex]

[ptj]

[tex]\sqrt{log_{a }\frac{3x-1}{1-x}}[/tex][tex]\le[/tex]1

Може да повдигнеш на квадрат 2-те страни на неравенството, но подкоренната ти величина трябва да остане неотрицателна,
т.е. ако обединим написаното ще получим:

[tex]0\le log_{a }\frac{3x-1}{1-x}\le 1[/tex]

Логаритим е строго растяща функция при а>1 и строго намаляваща при [tex]0<а<1[/tex], затова имаме право да антилогаритмуваме неравенството, но трябва да го разделим на 2 случая.

1сл.) [tex]а>1[/tex], т.е. [tex]log_a x[/tex] е растяща функция

[tex]0\le log_{a }\frac{3x-1}{1-x}\le 1\Leftrightarrow[/tex] [tex]1\le \frac{3x-1}{1-x}\le а\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow1\le -3+\frac{2}{x-1}\le а\Leftrightarrow 4\le\frac{2}{x-1}\le а+3[/tex]

лявата страна на последното неравенство е еквивалентна на [tex]1\le x \le \frac{3}{2}[/tex], а дясната на [tex]\frac{-a-1}{а+3}\le x[/tex]

съобразявайки, че [tex]\frac{-a-1}{а+3}<0[/tex] намираме крайното решение за този случай : при [tex]а>0 :[/tex][tex]x \in[1;\frac{3}{2}][/tex]

2сл.) [tex]а<0[/tex], т.е. [tex]log_a x[/tex] е намаляваща функция

[tex]0\le log_{a }\frac{3x-1}{1-x}\le 1\Leftrightarrow[/tex] [tex]1\ge \frac{3x-1}{1-x}\ge а\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow1\ge -3+\frac{2}{x-1}\ge а\Leftrightarrow 4\ge\frac{2}{x-1}\ge а+3[/tex]

лявата страна на последното дава [tex]x\in((-\infty;1)\cup(\frac{3}{2};+\infty))[/tex],

а дясната:
- при [tex]x>1[/tex] е еквивалентна на [tex]-1+\frac{2}{а+3}<x[/tex],
-при [tex]x\le1[/tex] е еквивалентна на [tex]-1+\frac{2}{а+3}>x[/tex]

За да напишем решението се налага да проверим кога [tex]1\ge-1+\frac{2}{а+3}\Leftrightarrow а\ge -2[/tex]

При [tex]а\in[-2;0) : x\in ((-\infty;1)\cup(\frac{3}{2};+\infty))[/tex].
При [tex]а<-2: x\in ((-\infty;-1+\frac{2}{а+3})\cup(\frac{3}{2};+\infty))[/tex]

[Knowledge Greedy]

За съжаление по-голямата част от писаното от колегата ptj е грешно
Основата [tex]a[/tex] на логаритъма няма как да е отрицателна. В средата на решението все още допусках, че пише [tex]a<0[/tex] вместо [tex]0<a<1[/tex] - но когато видях и крайния отговор, ми стана ясно, че тотално се е заблудил.
Като старт за грешките идва липсата на решение на неравенството[tex]\frac{3x-1}{1-x}>0[/tex] в качеството на определение на дефиниционното множество на логаритъма.
Съжалявам

[Гост]

За втория случай говорите, нали?

[Knowledge Greedy]

За всичко, друже. И първият случай е грешен. Решението е това, което съм дал в началото.
Ако има нещо неясно, довечера ще Ви отговоря.

[inveidar]

При [tex]a>1[/tex] неравенството е еквивалентно на системата
[tex]\begin{array}{|l} \frac{3x-1}{1-x}\ge1 \\ \frac{3x-1}{1-x}\le a\end{array} \,\ \Leftrightarrow \,\ \begin{array}{|l} \frac{1}{2}\le x <1 \\ x\le \frac{a+1}{a+3} \end{array} \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{1}{2}\le x \le \frac{a+1}{a+3}[/tex]

При [tex]0<a<1[/tex] неравенството е еквивалентно на системата
[tex]\begin{array}{|l} \frac{3x-1}{1-x}\le 1 \\ \frac{3x-1}{1-x}\ge a\end{array} \,\ \Leftrightarrow \,\ \begin{array}{|l} x \in (-\infty; \,\ \frac{1}{2}]\cup (1; \,\ +\infty) \\ x\in [\frac{1}{3}; \,\ 1)\\ \frac{(a+3)x-a-1}{1-x}\ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \,\ \begin{array}{|l} x \in [\frac{1}{3}; \,\ \frac{1}{2}] \\ (a+3)x \ge a+1 \end{array} \Leftrightarrow \,\ \frac{a+1}{a+3} \le x \le \frac{1}{2}[/tex]

За втория случай получавам [tex]x\in(-\infty;\frac{a+1}{a+3}]\cup(1;+\infty)[/tex].

[Knowledge Greedy]

Няма начин ! Вземи [tex]x=2\in (1; +\infty)[/tex]
[tex]\frac{3x-1}{1-x}=-5[/tex]
Покажи сега, ако обичаш как така [tex]\sqrt{log_a \,\ (-5)}\le 1[/tex]
Хайде сега от другата страна
Нека [tex]x=-1\in \left ( -\infty; \frac{a+1}{a+3} \right ][/tex]
[tex]\frac{3x-1}{1-x}=\frac{-4}{2}=-2[/tex]
Остави, че сме вече в комплексния анализ а, ма и ще ги сравняваме числата [tex]\sqrt{log_a \,\ (-2)}\le 1[/tex]

[inveidar]

Абсолютно прав си!!! Открих си грешката. Отговорът ти е верен и на втория случай.