Окръжности

[Гост]

Две окръжности с радиуси 4 и 9 се допират външно. Прекарани са две общи външни допирателни. Общата вътрешна допирателна пресича външните в точки К и М . Да се намери дължината на КМ

[Knowledge Greedy]

Нека означим с [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] допирните точки на едната външна допирателна с по-малката и с по-голямата окръжност - съответно. И нека общата вътрешна допирателна пресича [tex]PQ[/tex] в точката [tex]M[/tex], а централата в точката [tex]T[/tex].
Точката [tex]T[/tex] е допирната на двете окръжности.
Знае се ( лесно се постига с теорема на Питагор), че [tex]PQ=2\sqrt{Rr}=12[/tex].
[tex]\Delta PQT[/tex] е правоъгълен, с медиана към хипотенузата [tex]TK[/tex], следователно [tex]TK=6[/tex].
Но [tex]TK[/tex] е точно половината от търсената [tex]KM \,\ \Rightarrow[/tex]KM=12