Неравенство

[Гост]

да се реши неравенството: [tex]2^{x} + 2^{|x|} \ge 2\sqrt{2}[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]2^x+2^{|x|}\ge 2\sqrt{2}[/tex]

Случай 1. Ако [tex]x\ge0[/tex], неравенството е [tex]2^x+2^x \ge 2.2^{\frac{1}{2}} \,\ \Leftrightarrow \,\ 2^x \ge 2^{\frac{1}{2}} \,\ \Leftrightarrow \,\ x\ge\frac{1}{2}[/tex]
Отговор: [tex]x\in \left [ \frac{1}{2}; +\infty \right )[/tex]

Случай 2. Ако [tex]x<0[/tex], неравенството е [tex]2^{-x}+2^x \ge 2.2^{\frac{1}{2}}[/tex] и след полагане [tex]2^x=u, \,\ 0<u<1[/tex]
еквивалентното неравенство [tex]u^2-2\sqrt{2}+1\ge 0[/tex]
има решения [tex]u\in (0; \sqrt{2}-1)\cup (\sqrt{2}+1; \,\ +\infty)[/tex]

От тях остават [tex](0; \sqrt{2}-1)[/tex].
Съответните [tex]x\in (-\infty; log_2(\sqrt{2}-1))[/tex]

Отговор на задачата: [tex]x\in (-\infty; log_2(\sqrt{2}-1))\cup \left [ \frac{1}{2}; +\infty \right )[/tex]