Равнобедрен триъгълник

[Гост]

В равнобедрен триъгълник центърът на описаната окръжност лежи на вписаната окръжност. Да се намери отношението на дължините на основата и бедрото на триъгълника.

[Knowledge Greedy]

От формулата на Ойлер за разстоянието между центровете [tex]O[/tex] и [tex]I[/tex] на описаната и вписаната окръжност за даден триъгълник (съответно)
[tex]OI^2=R^2-2Rr[/tex]
намираме
[tex]r^2=R^2-2Rr[/tex]
следователно [tex]R^2-2Rr-r^2=0[/tex]
и [tex]R=(1+\sqrt{2})r[/tex]

За местоположението на центъра [tex]O[/tex] на описаната окръжност: - той се намира върху височината [tex]CD[/tex] към основата на равнобедрения триъгълник.
От [tex]\Delta ADC[/tex], по свойство на ъглополовящата [tex]\frac{AD}{AC}=\frac{ID}{IC}[/tex] следва [tex]\frac{c}{2b}=\frac{r}{R+r}=\frac{1}{2+\sqrt{2}}[/tex].
Окончателно [tex]\frac{c}{b}=2-\sqrt{2}[/tex]

[s.karakoleva]

Имаме два начина за наредба на I, C и O върху височината.
1 случай: O е между C и I, разгледан от Knowledge Greedy

2 случай: I е между C и O. Тогава [tex]D\equiv O[/tex], т.е. имаме равнобедрен правоъгълен триъгълник. Тогава [tex]\frac{c}{b}=\sqrt2[/tex]