Уравнение

[Гост]

[tex]log_{3 }(2^{x-1} + 3^{x+1}) + x = log_{3 }(4^{x} + 6^{x}) + 1[/tex]

[Zarrie]

уравнението е еквивалентно на :
[tex]log_{3} (2^{x-1} + 3^{x+1}) + log_{3}3^{x} = log_{3}(4^{x}+6^{x})+log_{3}3[/tex]
[tex]log_{3}[3^{x}(2^{x-1}+3^{x+1})]=log_{3}[3(4^{x}+6^{x})][/tex]
[tex]3^{x}(\frac{2^{x}}{2}+3.3^{x})=3(2^{2x}+2^{x}.3^{x})[/tex]
[tex]\frac{3^{x}}{2}(2^{x}+6.3^{x})=3(2^{2x}+2^{x}.3^{x})[/tex]
умножаваме по 2 и разкриваме скобите
[tex]3^{x}.2^{x}+6.3^{2x}=6.2^{2x}+6.2^{x}.3^{x}[/tex]
[tex]6.3^{2x}-6.2^{2x}-5.2^{x}.3^{x}=0 : 3^{2x} \neq 0 \forall x[/tex]
[tex]6-6\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-5\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=0[/tex]
[tex]-6t^{2} -5t +6=0,t>0[/tex]
[tex]D=169, t_{1} = \frac{2}{3}, t_{2} \notin D(t)[/tex]
[tex]\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=\frac{2}{3} \Rightarrow x=1[/tex]