Изпитна задача

[Гост]

Да се намерят всички решения на уравнението [tex]sin^{3}[/tex]xcosx=[tex]\frac{1}{4}[/tex] в интервала [0,[tex]\frac{\pi}{4}[/tex]]

[Knowledge Greedy]

Ако разгледаме функцията [tex]f(x)=sin^3xcosx[/tex]

[tex]f'(x)=3sin^2xcos^2x-sin^4x[/tex]

[tex]f'(x)=sin^2x(3cos^2x-sin^2x)\ge 0[/tex]
[tex]\forall x\in \left [ 0,\frac{\pi}{4} \right][/tex], като равенството е възможно сам0 при [tex]x=0[/tex].
Ето защо функцията е строго растяща във вътрешността на интервала.
Поради нейната непрекъснатост, стойностите и се разпростират между [tex]f(0)=0[/tex] и [tex]f\left ( \frac{\pi}{4}\right )=\frac{1}{4}[/tex].

Следователно единственият корен на уравнението в посочения интервал е [tex]x=\frac{\pi}{4}[/tex].