Разположение на корени

[Гост]

За кои стойности на a корените на уравнението (a-2)[tex]x^{2}[/tex]-2(a+3)x +4a = 0 не са в интервала [2;3]

[Knowledge Greedy]

В задачата се търсят стойностите на [tex]a[/tex], за които корените на уравнението [tex](a-2)x^2-2(a+3)x +4a = 0[/tex]
не са в интервала [2;3].
Това означава, че корените могат да са отляво на интервала [2;3], отдясно на интервала [2;3] или да "обхващат" интервала - последното означава единият да е по-малък от 2, а другият корен да е по-голям от три.
Трите случая се описват алгебрично със системите
[tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ (a-2)f(2)>0 \\ \frac{x_1+x_2}{2}<2 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ (a-2)f(2)>0 \\ (a-2)f(3)>0 \\ \left ( \frac{x_1+x_2}{2}-2 \right )\left (\frac{x_1+x_2}{2}-3 \right )>0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ (a-2)f(3)>0 \\ \frac{x_1+x_2}{2}>3 \end{array},[/tex]
като навсякъде [tex]a\ne 2[/tex].
__________________

Ако се образува отрицанието на горното твърдение, в себе си то ще включва възможността
точно един от корените да е в интервала [2;3] - описва се с неравенството [tex]f(2)f(3)<0[/tex] ,

както и възможността и двата корена да са в интервала [2;3] - нейното НДУ се описва със системата
[tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ (a-2)f(2)>0 \\ (a-2)f(3)>0 \\ \left ( \frac{x_1+x_2}{2}-2 \right )\left (\frac{x_1+x_2}{2}-3 \right )<0 \end{array}[/tex]

След като бъдат решени неравенството и системата, обединението от решенията трябва да бъде отстранено от множеството на всички възможни стойности на параметъра [tex]a[/tex], за да се получи отговора на задачата - това, което се получава и по първия начин.
__________________

Ако се вгледаме по-внимателно, първият начин е все пак по-кратък, защото е достатъчно да решим само системата
[tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ (a-2)f(2)>0 \\ (a-2)f(3)>0 \\ \left ( \frac{x_1+x_2}{2}-2 \right )\left (\frac{x_1+x_2}{2}-3 \right )>0 \end{array}[/tex]