Модулно уравнение

[Гост]

|[tex]x^{2}[/tex] - x -2| + |6 + x - [tex]x^{2}[/tex]| = 4

[Knowledge Greedy]

Ще използваме, че [tex]|-u| = |u|[/tex]
Записваме
[tex]|x^2 - x -2| + |6 + x - x^2| = 4[/tex]
така
[tex]|x^2 - x -2| + |x^2 - x -6| = 4[/tex]

Оттук нататък предлагам два начина.
Първи - полагаме [tex]x^2 - x -4=y[/tex] - както се забелязва, това е средно аритметичното на изразите в двата чифта скоби.
Получава се
[tex]|y +2| + |y - 2| = 4[/tex]

Сега ще използваме определението за модул на комплексно число - модулът на [tex]|z - 2|[/tex], това е разстоянието от [tex]2[/tex] до [tex]z[/tex].

Какво представлява модулът на [tex]|z + 2|[/tex] - това е разстоянието от афикса на [tex]-2[/tex] до афикса на [tex]z[/tex] (по-точно ).

Веднага се вижда, че елипсата с уравнение
[tex]|z +2| + |z - 2| = 4[/tex] и с фокуси - афиксите на [tex]-2[/tex] и [tex]2[/tex] е изродена в отсечка със същите краища (върху реалната ос). Това означава, че всяко [tex]y\in [-2;\,\ 2][/tex] е решение.

Връщаме полагането и получаваме всички корени от решението от системата
[tex]\begin{array}{|l} x^2 - x -4 \le 2 \\ x^2 - x -4\ge -2 \end{array}[/tex]
Окончателно [tex]\forall x \in [-2; \,\ -1 ]\cup [2; \,\ 3][/tex]

Втори - разлагаме в каноничен вид двата квадратни тричлена в модулните скоби
[tex]|(x+2)(x-3)| + |(x+1)(x-2)| = 4[/tex]
След това разкриваме модулните скоби водейки се от принадлежността на [tex]x[/tex] последователно във всеки от следните интервали:
[tex](-\infty; -2], \,\ (-2; -1], \,\ (-1; 2 ], \,\ (2; \,\ 3][/tex] и [tex](3; \,\ +\infty)[/tex].
Установяваме, че от първия и третия корени са само [tex]-2[/tex] и [tex]2[/tex] - съответно; всички числа от втория и четвъртия също са корени, а в петия няма корени.