Триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник АВС със страни ВС=11, СА=12 и АВ=13. Височината BH и медианата АМ се пресичат в точката P. Да се намери отношението AP:PM

[ева]

(за [tex]\triangle[/tex]АВС) р=[tex]\frac{11+12+13}{2}[/tex]=18; S(АВС)=[tex]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] S=6[tex]\sqrt{105}[/tex]
S(АВС)=[tex]\frac{AC.BH}{2}[/tex] т.е. 6[tex]\sqrt{105}[/tex]=[tex]\frac{12ВН}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ВН=[tex]\sqrt{105}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АВН-правоъг. [tex]АН^{2}[/tex]+105=169 т.е. АН=8 [tex]\Rightarrow[/tex] НС=4
Досещаме се да построим перпендикуляр от т.М към ВН,който пресича ВН в т.Т
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]НВС-1.т.М е среда на ВС 2.МТ е успоредна на СН [tex]\Rightarrow[/tex]т.Т е среда на ВН [tex]\Rightarrow[/tex] МТ е средна отс.в [tex]\triangle[/tex]НВС [tex]\Rightarrow[/tex]
МТ=[tex]\frac{НС}{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{2}[/tex]=2
(главната идея) [tex]\triangle[/tex]АРН[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]РТМ (1пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{АР}{РМ}[/tex]=[tex]\frac{АН}{МТ}[/tex] т.е. [tex]\frac{АР}{РМ}[/tex]=[tex]\frac{8}{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{1}[/tex]
отг. 4:1