Призма вписана в кълбо.

[Гост]

Основата на призма е трапец с основи a и b (a>b). Около призмата е описано кълбо с радиус R. Да се намери обемът на призмата ако височината и е H.

[Knowledge Greedy]

Разстоянието от центъра на кълбото до всяка от основите на призмата явно е [tex]\frac{H}{2}[/tex].

Свързвайки центъра на кълбото с един от върховете и проектирайки ортогонално получения радиус на кълбото върху една от основите, получаваме радиуса на описаната окръжност около тази основа.
Уравнението за големината на този радиус е [tex]r^2=R^2-\left ( \frac{H}{2} \right )^2[/tex] - по теорема на Питагор.

Решаваме планиметрична задача за лицето [tex]S[/tex] на равнобедрен трапец с основи [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], и радиус [tex]r[/tex] на описаната около него окръжност.
[tex]S=\frac{1}{2}(a+b)\left ( \sqrt{r^2-\frac{b^2}{4}}+\sqrt{r^2-\frac{b^2}{4}} \right )[/tex]

Намираме обема на призмата с лице на основата [tex]S[/tex] и височина [tex]H[/tex].

[Knowledge Greedy]

Досадна copy-paste грешка. Трябва да е

[tex]S=12(a+b)\left [ \sqrt{r^2−\left ( \frac{a}{2} \right )^2} \pm \sqrt{r^2−\left ( \frac{b}{2} \right )^2} \right ][/tex]

Освен това забелязвате знака [tex]\pm[/tex]. Възможни са два отговора в зависимост от това дали центърът на кълбото се проектира в основата на призмата [tex](+)[/tex] или извън нея [tex](-)[/tex]