триъгълна пирамида

[filkata]

В Триъгълна пирамида ABCD околният ръб AD=a, BD=CD и стената BCD е перпендикулярна на основата ABC. Всеки от ъглите при върна D е с големина 60 градуса. Да се намери обемът на пирамидата ?

Почнах да решавам и стигнах до там : означих BD=CD=x и от ъгъл BDC=60 градуса триъгълника BCD става равностранен( равнобедрен с 60 градуса ъгъл). От там BC също е равно на x. Намерих DH, която се явява височина, медиана, ъглопол. в триъгълника [tex]\frac{x\sqrt{3}}{2}[/tex]. После правя косинусова теорема за триъгъл. ABD. от нея получавам [tex]AB^2[/tex] = [tex]a^2 + x^2 - ax[/tex] . От тук имах намерение да изразя AH с питагорова теорема, обаче нещо ми закуца. Помогнете ми моля.

[Spider Iovkov]

Всичко съм означил на картинката. Построяваме [tex]DK \bot BC[/tex]. Понеже [tex]\triangle BCD[/tex] е равнобедрен, то [tex]CK=BK[/tex].

Сега, тъй като [tex]\angle CDA = \angle BDA = 60^\circ[/tex], [tex]CD=BD[/tex] и [tex]AD[/tex] е обща страна за [tex]\triangle ACD[/tex] и [tex]\triangle ABD[/tex],

то [tex]\triangle ACD \simeq \triangle ABD \Leftrightarrow AC=AB[/tex], т. е. [tex]\triangle ABC[/tex] е също равнобедрен.

От правоъгълния [tex]\triangle CDK[/tex] лесно намираме [tex]\tan 30^\circ = \frac{CK}{DK} \Leftrightarrow DK = CK \cot 30^\circ \Leftrightarrow DK = h = \frac{\sqrt{3}}{2}b \, (1)[/tex].

От [tex]\triangle ACD[/tex] по косинусовата теорема за страната [tex]AC[/tex] определяме

[tex]AC^2 = CD^2 + AD^2 - 2 . CD . AD . cos \angle CDA \Leftrightarrow AC^2 = b^2 + a^2 - 2 . a . b . cos 60^\circ[/tex],

което в действителност е същото като [tex]AC^2 = a^2 + b^2 - a b \, (2)[/tex].

От Питагоровата теорема за [tex]\triangle ACK[/tex] непосредствено следва

[tex]CK^2 + AK^2 = AC^2 \Leftrightarrow \left ( \frac{b}{2} \right )^2 + AK^2 = a^2 + b^2 - a b \Leftrightarrow AK^2 = \frac{4a^2+3b^2-4ab}{4} \, (3)[/tex] след кратки сметки.

Вече разглеждаме [tex]\triangle ADK[/tex]. Виждаме, че е изпълнено

[tex]AK^2 + DK^2 = AD^2 \Leftrightarrow \frac{4a^2 + 3b^2 - 4 a b}{4} + \frac{3 b^2}{4} = a^2 \Leftrightarrow 6 b^2 - 4 a b = 0 \Leftrightarrow 3b - 2a = 0 \Leftrightarrow b = \frac{2}{3} a[/tex].

От [tex](1)[/tex] веднага получаваме [tex]h = \frac{\sqrt{3}}{3} a[/tex], а от [tex](3)[/tex] — [tex]AK = \sqrt{\frac{2}{3}} a[/tex]. Също [tex]BC = b = \frac{2}{3} a[/tex].

Така [tex]V_{ABCD} = \frac{1}{3} . S_{\triangle ABC} . h \Leftrightarrow V_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{2}{3}}.a.\frac{2}{3}.a.\frac{\sqrt{3}}{3}.a \Leftrightarrow V_{ABCD} = \frac{\sqrt{2}}{27} a^3[/tex].

[filkata]

Благодаря Ви за отговора, ето какво получих(отговора е същия, просто начина ми се вижда по-кратък )аз след като се наспах и на сутринта се главоблъчках отново

Както писах по-горе получавам [tex]AB^2[/tex], правя след това ПТ за триъгъл. ABH и получавам [tex]AH^2=a^2 + \frac{3}{4}x^2 - ax[/tex] . След това правя ПТ за триъгъл. AHD [tex]AD^2 = AH^2 + HD^2[/tex] и изразявам [tex]x=\frac{2}{3} a[/tex] =BC , замествам в полученото за AH и получавам [tex]\frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex]
Намирам лицето на основата c.hc/2 , имам височината и намирам обема