Тригонометрично уравнение

[Гост]

[tex]cos^{2}x+cos2^{2}x+cos3^{2}x = 1[/tex]

[Гост]

Нещо не е наред с условието - виж си степените на константите ли са, или на функциите?

[Гост]

моя грешка всички са като първото, степени на косинуса

[Knowledge Greedy]

Щом е така, ето
[tex]cos^2x+cos^2{2x}+cos^2{3x}=1[/tex]
Понижаваме степента на всяко от събираемите отляво - три пъти с формулата [tex]cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}[/tex]
Имаме
[tex]\frac{1+cos2x}{2}+\frac{1+cos4x}{2}+\frac{1+cos6x}{2}=1[/tex]
Опростяваме
[tex]cos2x+cos4x+cos6x+1=0[/tex]

Групираме
[tex]cos2x+cos6x=2cos4x.cos2x[/tex]
а второто събираемо и единицата отново връщаме по формулата на първия ред до [tex]2cos^2{2x}[/tex].

Изнасяме общ множител [tex]2cos{2x}[/tex] и получаваме
[tex]cos{2x}(cos{4x}+cos{2x})=0[/tex], разбира се след съкращаване на константа.
Разлагаме израза в скобите и получаваме
[tex]cos{x}.cos{2x}.cos{3x}=0[/tex],
от което с основните уравнения намираме
[tex]\left\{\begin{matrix}
x=& \pm \frac {\pi}{6}+k\pi\\
x=& \pm \frac {\pi}{4}+k\pi \\
x=& \pm \frac {\pi}{2}+k\pi
\end{matrix}\right .[/tex]
[tex]\forall k\in \mathbb{Z}[/tex]