Задачи за пирамида

[Гост]

Зад.1: Основата на четириъгълна пирамида ABCDM е трапец ABCD с периметър 90 и малка основа CD=18. Диагоналът BD разполовява ъгъла ADC. Намерете обема на пирамидата, ако всичките околни ръбове са равни на 20.
Зад.2: За основа на триъгълна пирамида ABCM служи равнобедрен триъгълник АВС (АС=ВС), като АВ=30. Околните стени сключват с основата ъгли равни на 60∘ . Намерете обема на пирамидата, ако АМ=25.
Зад.3: Правоъгълен трапец АВСD (AB//CD) e описан около окръжност с център О, като ОВ=20, ОС=15. Околните стени на пирамидата АВСDM сключват с основата ъгъл 60 [tex]^\circ[/tex]. Намерете обема пирамидата.
Ще правим класна и това са примерни задачи, помогнете моля ви

[Гост]

1. [tex]756\sqrt{7}[/tex]

[Гост]

2. [tex]1800\sqrt{3}[/tex]

[Гост]

3. [tex]2352\sqrt{3}[/tex]

[S.B.]

3. [tex]2352\sqrt{3}[/tex]

Тук се намира решението
viewtopic.php?f=39&t=23328&p=95410#p95410

[S.B.]

Без заглавие (48).png (315.23 KiB) Прегледано 1394 пъти

Зад.1: Основата на четириъгълна пирамида ABCDM е трапец ABCD с периметър 90 и малка основа CD=18. Диагоналът BD разполовява ъгъла ADC. Намерете обема на пирамидата, ако всичките околни ръбове са равни на 20.

Решаване на основата
Щом всички околни ръбове на пирамидата са равни,то следователно върхът й се проектира върху центъра на описаната около трапеца окръжност, следователно трапецът е равнобедрен.
[tex]\beta = \alpha = \frac{1}{2}\angle ADC ; \gamma = \beta[/tex] (като кръстни)
Нека бележим $\angle ADC = 2\alpha , \angle BDC = \alpha ,\angle ABD = \alpha ,\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha , \angle DBC = 180^\circ - 3\alpha$
$\triangle ABD $ e равнобедрен , $ AB = AD = BC = x$ $P_{ABCD } = 3x + 18 = 90 \Rightarrow x = 24$
За $\triangle DCB$ прилагам синусова теорема: $\frac{CD}{sin\angle DBC} = \frac{CB}{sin \angle BDC} \Leftrightarrow \frac{18}{sin(180^\circ - 3\alpha)} = \frac{24}{sin\alpha}$
$\frac{18}{sin3\alpha} = \frac{24}{sin\alpha} \Leftrightarrow sin\alpha(16sin^{2}\alpha - 9)= 0 $ с корени $\alpha = 0 , \alpha = \pm\frac{3}{4}$, но $\alpha\in (0,\pi) \Rightarrow sin\alpha = \frac{3}{4}$

$\displaystyle \frac{24}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{24}{\displaystyle \frac{3}{4}} = 2R \Rightarrow R = 16$
От $\triangle ADN : \frac{DN}{AD} = sin(180 - 2\alpha) , DN = 24.sin2\alpha = 24.2sin\alpha.cos\alpha = 24.2.\frac{3}{4}.\frac{\sqrt{7}}{4} = 9\sqrt{7}$
$S_{ABCD } = \frac{24 + 18}{2}.9\sqrt{7} = 189\sqrt{7}$
Решаване на пирамидата:
От $\triangle MDO : h^{2} = 20^{2} - R^{2} = 20^{2} - 16^{2} = 144 \Rightarrow h = 12$
$V = \frac{1}{3}.12.189\sqrt{7} = 756\sqrt{7}$

[S.B.]

Без заглавие (50).png (332.24 KiB) Прегледано 1383 пъти

Зад.2: За основа на триъгълна пирамида ABCM служи равнобедрен триъгълник АВС (АС=ВС), като АВ=30. Околните стени сключват с основата ъгли равни на 60∘ . Намерете обема на пирамидата, ако АМ=25.

Околните стени сключват равни ъгли с основата на пирамидата,следователно върхът на пирамидата $M$ се проектира в центъра на вписаната в основата окръжност т.$H$
[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен ,тогава и $\triangle AHB$ е равнобедрен.$\triangle AMB$ се проектира върху $\triangle AHB,\Rightarrow \triangle AMB$ също е равнобедрен и $AM = BM = 25$
От $ \triangle HMN $ : $HN = r , \frac{r}{NM} = cos60^\circ \Rightarrow MN = 2r$
От $\triangle ANM $ по Питагор : $MN^{2} = AM^{2} - AN^{2} = 25^{2} - 15^{2} = 400 \Rightarrow 2r = 20 , r = 10$
От $\triangle AHN :\displaystyle \frac{HN}{AN} = tg\angle\frac{A}{2} = \displaystyle \frac{10}{15} = \displaystyle \frac{2}{3} \Rightarrow cos\angle A = \displaystyle \frac{1 - tg^{2}\displaystyle \frac{\angle A}{2}}{1 + tg^{2}\displaystyle \frac{\angle A}{2}} = \displaystyle \frac{5}{13}$
От $\triangle ANC : \frac{AN}{AC} = cos\angle A \Leftrightarrow \frac{AN}{AC} = \frac{5}{13} \Rightarrow AC = 39$
$cos\angle A = \frac{5}{13} \Rightarrow sin\angle A = \frac{12}{13}$
$S_{ABC } = \frac{AC.AB}{2}.sin\angle A = \frac{39.30}{2}.\frac{12}{13} = 540$
От $\triangle HNM : \frac{h}{2r} = sin 60^\circ \Leftrightarrow h = 20.\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow h = 10\sqrt{3}$
$V = \frac{1}{3}.h.S_{ABC } = \frac{1}{3}.10\sqrt{3}.540 = 1800\sqrt{3}$