Основата на пирамида е квадрат.

[Гост]

Основата на пирамида е квадрат. Две от околните стени са перпендикулярни на основата, а другите две сключват с нея ъгъл α . Намерете обема на пирамидата, ако радиусът на описаната около коя да е от наклонените околни стени окръжност е R.
Помогнете моля ви

[Knowledge Greedy]

Нека околните стени, които са перпендикулярни на основата са [tex]\Delta ADM[/tex] и [tex]\Delta DCM[/tex].

Стените [tex]\Delta ABM[/tex] и [tex]\Delta BCM[/tex] са тези, които сключват с основата [tex]\Delta ABCD[/tex] ъгъл [tex]\alpha[/tex].
Те са правоъгълни триъгълници. Радиусите на описаните окръжности около тези стени са равни на [tex]R[/tex].
Това означава, че общата им хипотенуза [tex]BM=2R[/tex]. Тя е също и хипотенуза на правоъгълния триъгълник [tex]\Delta BDM[/tex].
Следователно средата на [tex]BM[/tex] е център на описаната сфера около пирамидата и [tex]R[/tex] е радиус на тази сфера.

Ако означим основния ръб с [tex]a[/tex], то [tex]AM^2=CM^2=(2R)^2-a^2 \,\ \,\ (\ast)[/tex]
Ъгъл [tex]\angle ((BCM);(ABCD))=\alpha[/tex]
Линейният ъгъл на този двустенен ъгъл е [tex]\angle DCM = \alpha[/tex] и явно [tex]\frac{MD}{CD}=tg\alpha[/tex], следователно
височината на пирамидата [tex]MD=a.tg \alpha \,\ \,\ (\ast\ast)[/tex]

Тъй като от [tex]\Delta CDM[/tex] имаме [tex]CM=\frac{a}{cos\alpha}[/tex] и използвайки [tex](\ast)[/tex]
ще получим [tex]4R^2-a^2=\left ( \frac{a}{cos\alpha} \right )^2[/tex],
от където изразяваме основния ръб - страната на квадрата [tex]a=\frac{2Rcos\alpha}{\sqrt{1+cos^2\alpha}}[/tex]
След това, с помощта на [tex](\ast\ast)[/tex] и намерената страна [tex]a[/tex], намираме височината [tex]DM^2=4R^2-\frac{4R^2cos^2\alpha}{1+cos^2\alpha}[/tex]
[tex]DM=\frac{2R}{\sqrt{1+cos^2\alpha}}[/tex]

Остава да напишем отговора за обема на пирамидата.

[momchilova_y]

"Остава да напишем отговора за обема на пирамидата."? Може ли помощ?

[Гост]

"Остава да напишем отго вора за обема на пирамидата."? Може ли помощ?

[tex]V = \frac{B.h}{3} , B = a^{2}[/tex]
Мисля,че ти достатъчно

[Гост]

"Остава да напишем отговора за обема на пирамидата."? Може ли помощ?

[tex]V = \frac{B.h}{3} , B = a^{2}[/tex]
Мисля,че ти достатъчно