3 неравенства с корен

[Dzverky]

Ако може някой да помогне с тези 3 неравенства.

[tex]\frac{\sqrt{5-4x}+7x-6}{x}\ge2[/tex]

[tex]\frac{9x^{2}-4}{\sqrt{5x^{2}-1}}\le3x+2[/tex]

[tex]\frac{2x+\sqrt{x+2}}{2x-\sqrt{x+2}}\ge1[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]\frac{\sqrt{5-4x}+7x-6}{x}\ge 2[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{5-4x}+7x-6}{x}-2\ge 0[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{5-4x}+5x-6}{x}\ge 0[/tex]

ДМ:[tex]\forall x\le \frac{5}{4}, x\ne 0[/tex]

Първи случай: [tex]x > 0[/tex]
т.е. разглеждаме [tex]\forall x\in \left ( 0; \,\ \frac{5}{4} \right ][/tex]
Достатъчно е да разгледаме числителя [tex]\sqrt{5-4x}+5x-6\ge 0[/tex]
[tex]\sqrt{5-4x}\ge 6-5x[/tex]

1.1. [tex]6-5x<0 \,\ \Rightarrow \,\ \forall x \in \left ( 0; \,\ \frac{5}{4} \right ] \,\ \Rightarrow \forall x \in \left ( \frac{6}{5}; \,\ \frac{5}{4} \right ][/tex]

1.2. [tex]6-5x\ge0 \,\ \Rightarrow \,\ \left ( \sqrt{5-4x} \right )^2 \ge \left ( 6-5x \right )^2[/tex], като разглеждаме [tex]\forall x\in \left ( 0; \,\ \frac{6}{5} \right ][/tex]
Неравенството става квадратно
[tex]25x^2-56x+31\le 0[/tex]

[tex]D=9[/tex]

[tex]25\left ( x-1 \right )\left ( x-\frac{31}{25} \right )\le0 \,\ \Leftrightarrow\left [ 1; \frac{31}{25} \right ] \,\ \bigcap \left ( 0; \,\ \frac{6}{5} \right ]=\left [ 1; \,\ \frac{6}{5} \right ][/tex]
Така решенията в първия случай са всички [tex]x\in \left [ 1; \,\ \frac{5}{4} \right ][/tex]

Втори случай: [tex]x<0[/tex]
Отново е достатъчно да разгледаме числителя [tex]\sqrt{5-4x}+5x-6 \le 0[/tex]

[tex]\sqrt{5-4x} \le 6-5x[/tex] - с положителна дясна страна [tex]\forall x \in \left ( -\infty; \,\ 0 \right )[/tex], следователно е равносилно на квадратното неравенство

[tex]25x^2-56x+31\ge 0 \,\ \Leftrightarrow \,\ \forall x\in ( -\infty; \,\ 1) \cup \left ( \frac{31}{25}; +\infty \right ) \bigcap \left ( -\infty; \,\ 0 \right )[/tex]

Окончателно решенията във втория случай са всички [tex]x \in \left ( -\infty; \,\ 0 \right )[/tex]
Всички решения
[tex]x \in ( -\infty; \,\ 0 ) \cup \left [ 1; \,\ \frac{5}{4} \right ][/tex]

[Dzverky]

Благодарско

[pal702004]

Второто го свеждаме до

[tex]\frac{(3x+2)(3x-2-\sqrt{5x^2-1})}{\sqrt{5x^2-1}}\le 0[/tex]

На ДО знаменателят е положителен, също така първият множител на числителя е по-голям от втория, така че системата става

[tex]\begin{cases} 3x+2 \ge 0 \\ 3x-2-\sqrt{5x^2-1} \le 0 \end{cases}[/tex]

и разбира се ДО [tex]x \in\left(-\infty;-\frac{1}{\sqrt 5}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt 5};\infty\right)[/tex]

(по възможност трябва да се избягва ирационалност в знаменателя, на брат ми това му костваше 25 стотни на приемният изпит)

При решаване на нестрого неравенство, както в случая [tex]AB \le 0[/tex] често се пропуска един момент - когато единият множител е равен на нула, изискването за вторият отпада, и решенията са [tex]A=0\cup B=0 \cup (A>0\cap B<0) \cup (A<0 \cap B>0)[/tex], но в конкретният случай няма опасност да пропуснем решение. Внимателно с второто неравенство, - двата случая (вж решението на Knowledge Greedy)

Третата е най-лесна - преместваме 1 вляво, привеждаме под общ знаменател и почти нищо не остава за решаване. Всъщност, аналогична е на другите.

[Dzverky]

Много благодаря за помощта.

Не бях се замислил, че първият множител е по-голям от втория.

А колкото до 3-тото неравенство - аз стигам до този отговор x[tex]\in[-2;\frac{1-\sqrt{33}}{8})\cup(\frac{1+\sqrt{33}}{8};+\infty)[/tex]

а правилният отговор трябва да бъде x[tex]\in(\frac{1+\sqrt{33}}{8};+\infty)\cup[/tex]{-2}, но не съм сигурен как точно трябва да стигна до този отговор

[pal702004]

Предполагам че стигаш до [tex]2x>\sqrt{x+2}[/tex] и повдигаш на квадрат. Но може ли [tex]x<0[/tex] (лявата част да е отрицателна)
Преди да повдигнеш на квадрат, ортбележи [tex]x>0[/tex]. И в отговора ще остане само положителният интервал. И да не се забравя [tex]x=-2[/tex]

[ptj]

[tex]\frac{2x+\sqrt{x+2}}{2x-\sqrt{x+2}}\ge1[/tex]

[tex]D.M.: x\in\bigg([-2;\frac{1+\sqrt{33}}{8})\cup(\frac{1+\sqrt{33}}{8};+\infty)\bigg)[/tex]

[tex]1+\frac{2\sqrt{x+2}}{2x-\sqrt{x+2}}\ge1[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{x+2}}{2x-\sqrt{x+2}}\ge0[/tex]

[tex]{2x-\sqrt{x+2}}\ge0[/tex]

Решението е [tex]x \in (\frac{1+\sqrt{33}}{8};+\infty)[/tex].

[pal702004]

а правилният отговор трябва да бъде [tex]x\in\left(\frac{1+\sqrt{33}}{8};+\infty\right)\cup \{-2\}[/tex]

[ptj]

Да, също [tex]x=-2[/tex].

Тогава числителя на [tex]\frac{\sqrt{x+2}}{2x-\sqrt{x+2}}[/tex] е [tex]0[/tex], а знаменятеля различен от нула.