Триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник АВС в който АВ = 10, ВС=4 ъгъл АВС = 75. Върху страната АС е избрана точка М така че ъгъл АВМ е 45 градуса. Да се намери отношението АМ:МС

[Knowledge Greedy]

Даден е триъгълник АВС в който АВ = 10, ВС=4 ъгъл АВС = 75. Върху страната АС е избрана точка М така че ъгъл АВМ е 45 градуса. Да се намери отношението АМ:МС

интересни конкретни данни 1.PNG (3.59 KiB) Прегледано 226 пъти

Построяваме [tex]MN||BC[/tex]
Ще се възползваме от синусова теорема за [tex]\Delta BMN[/tex] и теоремата на Талес за ъгъл [tex]\angle BAC[/tex] и двойката успоредни прави от построеното по-горе.
От синусова теорема [tex]MN:NB=sin30^\circ :sin45^\circ[/tex]
От Талес (и следствието ) [tex]\frac{AN}{AB}=\frac{MN}{BC}[/tex]
От горните две пропорции изразяваме [tex]x=10-5\sqrt{2}[/tex]
Да не забравяме, че това което търсим е отношението [tex]\frac{AM}{MC}=\frac{AN}{NB}=\frac{10-x}{x}[/tex]
Отговор: [tex]\frac{AM}{MC}=\frac{5\sqrt{2}}{10-5\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}[/tex] - след съкращаване и рационализиране.

[Knowledge Greedy]

Изглежда имам техническа грешка. Идва от разменените [tex]MN:NB=sin45^\circ:sin30^\circ[/tex]

интересни конкретни данни 1.PNG (3.69 KiB) Прегледано 184 пъти

Така от системата
[tex]\begin{array}{|l} \frac{MN}{sin45^\circ}= \frac{x}{sin30^\circ}\\ \frac{10-x}{10} = \frac{MN}{4} \end{array}[/tex]
с почленно умножение и съкращаване [tex]\frac{10-x}{10}=\frac{x\sqrt{2}}{4}[/tex],
а търсеното [tex]\frac{AM}{MC}=(10-x):x[/tex]
и отговорът е [tex]AM:MC=5\sqrt{2}:2[/tex].
___________
Моля за извинение!