Четириъгълник АВСD е вписан в окръжност и описан около окръж

[Гост]

Четириъгълник АВСD е вписан в окръжност и описан около окръжност. Ако ∠ DAC=∠DBA=30 ∘ и АС=4, намерете радиусите на вписаните окръжности в триъгълниците АВС и АСD.
Помотнете :))

[Добромир Глухаров]

ABCD.png (23.29 KiB) Прегледано 704 пъти

[tex]ABCD[/tex] - вписан, [tex]\angle DAC=\angle DBA\Rightarrow AD=CD[/tex]

[tex]ABCD[/tex] - описан, [tex]\Rightarrow AB+CD=AD+BC[/tex]

[tex]\Rightarrow AB=BC\Rightarrow ABCD[/tex] - делтоид.

[tex]\Delta ABM[/tex] - правоъгълен. [tex]AM=AB/2[/tex] - катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex]. Но [tex]AM=AC/2\Rightarrow AB=AC=4[/tex]

[tex]AD=AM/cos 30^\circ=\frac{4}{\sqrt{3}}=CD[/tex]

[tex]\Delta ABC->p=(4+4+4)/2=6;\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6.2.2.2}=4\sqrt{3}[/tex]

[tex]\Delta ACD->p=(4+4/{\sqrt{3}}+4/{\sqrt{3}})/2=2+4/{\sqrt{3}};\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(2+4/{\sqrt{3}})(-2+4/{\sqrt{3}}).2.2}=2\sqrt{16/3-4}=4\sqrt{4/3-1}=4\sqrt{1/3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}[/tex]

[Гост]

ABCD.png

[tex]ABCD[/tex] - вписан, [tex]\angle DAC=\angle DBA\Rightarrow AD=CD[/tex]

[tex]ABCD[/tex] - описан, [tex]\Rightarrow AB+CD=AD+BC[/tex]

[tex]\Rightarrow AB=BC\Rightarrow ABCD[/tex] - делтоид.

[tex]\Delta ABM[/tex] - правоъгълен. [tex]AM=AB/2[/tex] - катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex]. Но [tex]AM=AC/2\Rightarrow AB=AC=4[/tex]

[tex]AD=AM/cos 30^\circ=\frac{4}{\sqrt{3}}=CD[/tex]

[tex]\Delta ABC->p=(4+4+4)/2=6;\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6.2.2.2}=4\sqrt{3}[/tex]

[tex]\Delta ACD->p=(4+4/{\sqrt{3}}+4/{\sqrt{3}})/2=2+4/{\sqrt{3}};\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(2+4/{\sqrt{3}})(-2+4/{\sqrt{3}}).2.2}=2\sqrt{16/3-4}=4\sqrt{4/3-1}=4\sqrt{1/3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}[/tex]

от с-вото ъгъл А = ъгъл С но защо ъгъл DAC = ъгъл DBA

[Knowledge Greedy]

от с-вото ъгъл А = ъгъл С, но защо ъгъл DAC = ъгъл DBA ?

____________________
Виж условието и вписани ъгли.

[Гост]

от с-вото ъгъл А = ъгъл С, но защо ъгъл DAC = ъгъл DBA ?

____________________
Виж условието и вписани ъгли.

чак сега се сетих за вписаните ъгли, благодаря :)